Um tanque cilíndrico com raio de 3 m está sendo enchido com água a uma taxa de 6 m^3 / min. Com que velocidade a altura da água está aumentando?
Dados: volume do cilindro: V=pi r^2 h

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre um tanque cilíndrico com raio de 3 metros que está sendo enchido com água a uma taxa de . O que a gente quer descobrir é com que velocidade a altura da água está aumentando. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas relacionadas a volumes e alturas. Precisamos da fórmula do volume do cilindro, que é , onde é o volume, é o raio e é a altura.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de um cilindro: . Aqui, é o raio do cilindro e é a altura da água. Como o raio é constante (3 metros), quando a água sobe, apenas a altura muda.

Passo 3

Como queremos saber como a altura dVdt = pi r^2 dhdt muda com o tempo ( ), vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo. Isso nos dá:
Aqui, é a taxa de variação do volume com o tempo (que é dada na questão) e é a taxa de variação da altura que queremos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos isolar dhdt = dVdtpi r^2 na equação:
Isso significa que a velocidade com que a altura da água está aumentando depende da taxa de enchimento e do raio do cilindro.

Passo 5

Vamos substituir os valores que conhecemos na equação. Sabemos que dhdt = 6pi (3)^2 = 69pi = 23pi e :

Resposta

A altura da água está aumentando a uma velocidade de .

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