Um tanque cilíndrico com raio de 3 m está sendo enchido com água a uma taxa de
. Com que velocidade a altura da água está aumentando?
Dados: volume do cilindro:
Dados: volume do cilindro:
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre um tanque cilíndrico com raio de 3 metros que está sendo enchido com água a uma taxa de
. O que a gente quer descobrir é com que velocidade a altura da água está aumentando. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas relacionadas a volumes e alturas. Precisamos da fórmula do volume do cilindro, que é
, onde
é o volume,
é o raio e
é a altura.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de um cilindro:
. Aqui,
é o raio do cilindro e
é a altura da água. Como o raio é constante (3 metros), quando a água sobe, apenas a altura
muda.
Passo 3
Como queremos saber como a altura
muda com o tempo (
), vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo. Isso nos dá:
Aqui,
é a taxa de variação do volume com o tempo (que é dada na questão) e
é a taxa de variação da altura que queremos encontrar.
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação:
Isso significa que a velocidade com que a altura da água está aumentando depende da taxa de enchimento e do raio do cilindro.
Passo 5
Vamos substituir os valores que conhecemos na equação. Sabemos que
e
:
Resposta
A altura da água está aumentando a uma velocidade de
.
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Prove que se
e
são inteiros, com
, então existem inteiros únicos
e
que satisfazem
, onde
.