Encontre os pontos críticos das funções a seguir:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função
.
Conteúdo da matéria: Cálculo Diferencial, especificamente o estudo de derivadas e pontos críticos.
O que vamos precisar: Saber calcular derivadas de funções, entender o que são pontos críticos e como encontrá-los.
Passo 2
Entendendo os pontos críticos:
Pontos críticos de uma função são os valores de
onde a derivada da função é zero ou não existe. Ou seja, são os pontos onde a inclinação da função é horizontal ou onde a derivada não está definida.
Passo 3
Calculando a derivada da função
:
Para encontrar a derivada de
, vamos usar a regra do produto, que diz que se temos duas funções multiplicando uma à outra, a derivada é:
Onde
e
.
Primeiro, encontramos as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 4
Simplificando a derivada:
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Para facilitar, vamos trazer os termos para um denominador comum:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Encontrando os pontos críticos:
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver onde
ou onde
não está definida.
- Quando
:
- Quando
não está definida:
A derivada não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando
. Isso ocorre em
.
Resposta
Os pontos críticos da função
são: