Encontre os pontos críticos das funções a seguir:
g(x)=x^25 cdot(3-x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função .
Conteúdo da matéria: Cálculo Diferencial, especificamente o estudo de derivadas e pontos críticos.
O que vamos precisar: Saber calcular derivadas de funções, entender o que são pontos críticos e como encontrá-los.

Passo 2

Entendendo os pontos críticos:
Pontos críticos de uma função são os valores de onde a derivada da função é zero ou não existe. Ou seja, são os pontos onde a inclinação da função é horizontal ou onde a derivada não está definida.

Passo 3

Calculando a derivada da função g'(x) = f'(x) cdot h(x) + f(x) cdot h'(x) :
Para encontrar a derivada de f'(x) = 25 x^25 - 1 = 25 x^-35 , vamos usar a regra do produto, que diz que se temos duas funções multiplicando uma à outra, a derivada é:
h'(x) = -1
Onde g'(x) = 25 x^-35 cdot (3 - x) + x^25 cdot (-1) e .
Primeiro, encontramos as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 4

Simplificando a derivada:
Vamos simplificar a expressão da derivada:
g'(x) = 2(3 - x)5x^35 - x^25
Para facilitar, vamos trazer os termos para um denominador comum:
g'(x) = 2(3 - x) - 5x^25 cdot x^355x^35
Sabemos que g'(x) = 6 - 2x - 5x5x^35 = 6 - 7x5x^35 , então:

Passo 5

Encontrando os pontos críticos:
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver onde 6 - 7x5x^35 = 0 Rightarrow 6 - 7x = 0 Rightarrow x = 67 ou onde não está definida.
  1. Quando :
  1. Quando não está definida:
A derivada não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando . Isso ocorre em .

Resposta

Os pontos críticos da função x = 0 e x = 67 são:

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