Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
b) O inteiro n é um número triangular se e somente se 8 n+1 for um quadrado perfeito. (Plutarco, cerca de 100 d.C.)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre números triangulares. A tarefa aqui é provar que um número inteiro n é triangular se e somente se for um quadrado perfeito. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números triangulares e como relacioná-los com quadrados perfeitos usando álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são números triangulares. Eles são números que podem ser representados na forma de um triângulo equilátero feito com pontos. A fórmula para encontrar o n-ésimo número triangular é:
Tk = k(k + 1)2
onde k é um número inteiro positivo.

Passo 3

Agora, queremos provar que se n é triangular, então é um quadrado perfeito. Vamos supor que n seja o k-ésimo número triangular, ou seja, .

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por 8 e adicionar 1:
8n + 1 = 8 ( k(k + 1)2 ) + 1 = 4k(k + 1) + 1
Explicando, aqui estamos manipulando a fórmula do número triangular para relacionar com algo que possa se tornar um quadrado perfeito.

Passo 5

Agora, observamos que:
4k(k + 1) + 1 = (2k + 1)^2
Porque:
(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1
Então, , que é claramente um quadrado perfeito.

Passo 6

Para o “se e somente se”, precisamos também provar que se é um quadrado perfeito, então n é triangular. Suponha que para algum inteiro m.

Passo 7

Resolvendo para n:
8n = m^2 - 1 Rightarrow n = m^2 - 18
Queremos mostrar que n pode ser escrito como . Note que deve ser ímpar, pois será divisível por 8 apenas se m for ímpar.

Passo 8

Se m é ímpar, podemos escrevê-lo como n = (2k + 1)^2 - 18 = 4k^2 + 4k + 1 - 18 = 4k(k + 1)8 = k(k + 1)2 para algum inteiro k. Substituindo na equação de n:
Isso mostra que n é realmente um número triangular.

Resposta

Portanto, provamos que um inteiro n é um número triangular se e somente se for um quadrado perfeito.

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