Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
b) O inteiro n é um número triangular se e somente se
for um quadrado perfeito. (Plutarco, cerca de 100 d.C.)
b) O inteiro n é um número triangular se e somente se
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre números triangulares. A tarefa aqui é provar que um número inteiro n é triangular se e somente se
for um quadrado perfeito. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números triangulares e como relacioná-los com quadrados perfeitos usando álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são números triangulares. Eles são números que podem ser representados na forma de um triângulo equilátero feito com pontos. A fórmula para encontrar o n-ésimo número triangular é:
onde k é um número inteiro positivo.
Passo 3
Agora, queremos provar que se n é triangular, então
é um quadrado perfeito. Vamos supor que n seja o k-ésimo número triangular, ou seja,
.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por 8 e adicionar 1:
Explicando, aqui estamos manipulando a fórmula do número triangular para relacionar com algo que possa se tornar um quadrado perfeito.
Passo 5
Agora, observamos que:
Porque:
Então,
, que é claramente um quadrado perfeito.
Passo 6
Para o “se e somente se”, precisamos também provar que se
é um quadrado perfeito, então n é triangular. Suponha que
para algum inteiro m.
Passo 7
Resolvendo para n:
Queremos mostrar que n pode ser escrito como
. Note que
deve ser ímpar, pois
será divisível por 8 apenas se m for ímpar.
Passo 8
Se m é ímpar, podemos escrevê-lo como
para algum inteiro k. Substituindo na equação de n:
Isso mostra que n é realmente um número triangular.
Resposta
Portanto, provamos que um inteiro n é um número triangular se e somente se
for um quadrado perfeito.