Resolva o sistema abaixo pelo método de Jacobi e Gauss-Seidel.
5 x1+x2+x3 & =50 -x1+3 x2-x3 & =10 x1+2 x2+10 x3 & =-30
Use como critério de parada um erro epsilon<10^-3 e solução inicial x^(0)=(0,0,0)^t.

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações usando os Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. O sistema dado é:
5 x1+x2+x3 & =50 -x1+3 x2-x3 & =10 x1+2 x2+10 x3 & =-30
Vamos precisar entender como funcionam os métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel, que ajudam a encontrar soluções aproximadas para sistemas lineares. Começaremos com o método de Jacobi.

Método de Jacobi

Passo 2

Rearranjando as equações para isolar cada variável:
x1 &= 50 - x2 - x35 x2 &= 10 + x1 + x33 x3 &= -30 - x1 - 2x210
No método de Jacobi, usamos uma estimativa inicial e atualizamos todas as variáveis simultaneamente.

Passo 3

Inicialização:
Solução inicial .

Passo 4

Primeira Iteração (k=1):
x1^(1) &= 50 - 0 - 05 = 10 x2^(1) &= 10 + 0 + 03 approx 3.333 x3^(1) &= -30 - 0 - 010 = -3
Nova estimativa:

Passo 5

Erro na primeira iteração:
Calculamos a diferença entre epsilon = max(|10-0|, |3.333-0|, |-3-0|) = 10 e :
Como , continuamos.

Passo 6

Segunda Iteração (k=2):
x1^(2) &= 50 - 3.333 - (-3)5 = 49.6675 approx 9.933 x2^(2) &= 10 + 10 + (-3)3 = 173 approx 5.667 x3^(2) &= -30 - 10 - 2(3.333)10 = -30 -10 -6.66610 = -46.66610 approx -4.666
Nova estimativa:

Passo 7

Erro na segunda iteração:
epsilon = max(|9.933-10|, |5.667-3.333|, |-4.666-(-3)|) = max(0.067, 2.334, 1.666) = 2.334
Ainda . Continuamos.

Passo 8

Terceira Iteração (k=3):
x1^(3) &= 50 - 5.667 - (-4.666)5 = 49.9995 approx 10 x2^(3) &= 10 + 9.933 + (-4.666)3 = 15.2673 approx 5.089 x3^(3) &= -30 - 9.933 - 2(5.667)10 = -30 -9.933 -11.33410 approx -5.426
Nova estimativa:

Passo 9

Erro na terceira iteração:
epsilon = max(|10-9.933|, |5.089-5.667|, |-5.426-(-4.666)|) = max(0.067, 0.578, 0.760) = 0.760
Ainda . Continuamos.

Passo 10

Continuando as iterações:
Seguindo esse processo de atualizar todas as variáveis simultaneamente e calcular o erro, repetimos até que .

Método de Gauss-Seidel

Passo 11

Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando o Método de Gauss-Seidel. A diferença principal é que, a cada iteração, usamos as atualizações mais recentes das variáveis imediatamente.

Passo 12

Rearranjando as equações para isolar cada variável:
x1 &= 50 - x2 - x35 x2 &= 10 + x1 + x33 x3 &= -30 - x1 - 2x210
No método de Gauss-Seidel, atualizamos , depois usando o novo , e assim por diante.

Passo 13

Inicialização:
Solução inicial .

Passo 14

Primeira Iteração (k=1):
x1^(1) &= 50 - 0 - 05 = 10 x2^(1) &= 10 + 10 + 03 approx 6.666 x3^(1) &= -30 -10 -2(6.666)10 = -30 -10 -13.33310 approx -5.433
Nova estimativa:

Passo 15

Erro na primeira iteração:
epsilon = max(|10-0|, |6.666-0|, |-5.433-0|) = 10
Como , continuamos.

Passo 16

Segunda Iteração (k=2):
x1^(2) &= 50 - 6.666 - (-5.433)5 = 48.7675 approx 9.753 x2^(2) &= 10 + 9.753 + (-5.433)3 = 14.3203 approx 4.773 x3^(2) &= -30 -9.753 -2(4.773)10 = -30 -9.753 -9.54610 approx -4.730
Nova estimativa:

Passo 17

Erro na segunda iteração:
epsilon = max(|9.753-10|, |4.773-6.666|, |-4.730-(-5.433)|) = max(0.247, 1.893, 0.703) = 1.893
Ainda . Continuamos.

Passo 18

Terceira Iteração (k=3):
x1^(3) &= 50 -4.773 - (-4.730)5 = 50 -4.773 +4.7305 approx 49.9575 approx 9.991 x2^(3) &= 10 +9.991 + (-4.730)3 = 15.2613 approx 5.087 x3^(3) &= -30 -9.991 -2(4.773)10 = -30 -9.991 -9.54610 approx -4.754
Nova estimativa:

Passo 19

Erro na terceira iteração:
epsilon = max(|9.991-9.753|, |5.087-4.773|, |-4.754-(-4.730)|) = max(0.238, 0.314, 0.024) = 0.314
Ainda . Continuamos.

Resposta

Após aplicar os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel com o critério de erro x approx (10, 5, -4.75)^T e iniciando com , a solução aproximada do sistema é:

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