Resolva o sistema abaixo pelo método de Jacobi e Gauss-Seidel.
Use como critério de parada um erro e solução inicial .
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações usando os Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. O sistema dado é:
Vamos precisar entender como funcionam os métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel, que ajudam a encontrar soluções aproximadas para sistemas lineares. Começaremos com o método de Jacobi.
Método de Jacobi
Passo 2
Rearranjando as equações para isolar cada variável:
No método de Jacobi, usamos uma estimativa inicial e atualizamos todas as variáveis simultaneamente.
Passo 3
Inicialização:
Solução inicial .
Passo 4
Primeira Iteração (k=1):
Nova estimativa:
Passo 5
Erro na primeira iteração:
Calculamos a diferença entre e :
Como , continuamos.
Passo 6
Segunda Iteração (k=2):
Nova estimativa:
Passo 7
Erro na segunda iteração:
Ainda . Continuamos.
Passo 8
Terceira Iteração (k=3):
Nova estimativa:
Passo 9
Erro na terceira iteração:
Ainda . Continuamos.
Passo 10
Continuando as iterações:
Seguindo esse processo de atualizar todas as variáveis simultaneamente e calcular o erro, repetimos até que .
Método de Gauss-Seidel
Passo 11
Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando o Método de Gauss-Seidel. A diferença principal é que, a cada iteração, usamos as atualizações mais recentes das variáveis imediatamente.
Passo 12
Rearranjando as equações para isolar cada variável:
No método de Gauss-Seidel, atualizamos , depois usando o novo , e assim por diante.
Passo 13
Inicialização:
Solução inicial .
Passo 14
Primeira Iteração (k=1):
Nova estimativa:
Passo 15
Erro na primeira iteração:
Como , continuamos.
Passo 16
Segunda Iteração (k=2):
Nova estimativa:
Passo 17
Erro na segunda iteração:
Ainda . Continuamos.
Passo 18
Terceira Iteração (k=3):
Nova estimativa:
Passo 19
Erro na terceira iteração:
Ainda . Continuamos.
Resposta
Após aplicar os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel com o critério de erro e iniciando com , a solução aproximada do sistema é: