Resolva o sistema abaixo pelo método de Jacobi e Gauss-Seidel.
Use como critério de parada um erro e solução inicial .

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações usando os Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. O sistema dado é:
Vamos precisar entender como funcionam os métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel, que ajudam a encontrar soluções aproximadas para sistemas lineares. Começaremos com o método de Jacobi.

Método de Jacobi

Passo 2

Rearranjando as equações para isolar cada variável:
No método de Jacobi, usamos uma estimativa inicial e atualizamos todas as variáveis simultaneamente.

Passo 3

Inicialização:
Solução inicial .

Passo 4

Primeira Iteração (k=1):
Nova estimativa:

Passo 5

Erro na primeira iteração:
Calculamos a diferença entre e :
Como , continuamos.

Passo 6

Segunda Iteração (k=2):
Nova estimativa:

Passo 7

Erro na segunda iteração:
Ainda . Continuamos.

Passo 8

Terceira Iteração (k=3):
Nova estimativa:

Passo 9

Erro na terceira iteração:
Ainda . Continuamos.

Passo 10

Continuando as iterações:
Seguindo esse processo de atualizar todas as variáveis simultaneamente e calcular o erro, repetimos até que .

Método de Gauss-Seidel

Passo 11

Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando o Método de Gauss-Seidel. A diferença principal é que, a cada iteração, usamos as atualizações mais recentes das variáveis imediatamente.

Passo 12

Rearranjando as equações para isolar cada variável:
No método de Gauss-Seidel, atualizamos , depois usando o novo , e assim por diante.

Passo 13

Inicialização:
Solução inicial .

Passo 14

Primeira Iteração (k=1):
Nova estimativa:

Passo 15

Erro na primeira iteração:
Como , continuamos.

Passo 16

Segunda Iteração (k=2):
Nova estimativa:

Passo 17

Erro na segunda iteração:
Ainda . Continuamos.

Passo 18

Terceira Iteração (k=3):
Nova estimativa:

Passo 19

Erro na terceira iteração:
Ainda . Continuamos.

Resposta

Após aplicar os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel com o critério de erro e iniciando com , a solução aproximada do sistema é:

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