Encontre uma raiz aproximada com erro de 10^-3 para funções abaixo, pelo método da falsa posição ou método das cordas, se possível.
a- G(x)=x^3-3 x+3 em [-3,-2]
b- H(x)=cos (x)-e^x em [-2,-1]
c- P(x)=x-2 sen(x) em [-2,-1]

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar uma raiz aproximada da função no intervalo . A matéria que vamos usar aqui é o Método da Falsa Posição, que ajuda a encontrar raízes de funções quando sabemos que elas mudam de sinal em um intervalo. Vamos precisar calcular os valores da função nos extremos do intervalo e aplicar a fórmula do método para encontrar a raiz com um erro menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se existe uma raiz no intervalo G(-3) = (-3)^3 - 3(-3) + 3 = -27 + 9 + 3 = -15 calculando os valores de G(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 3 = -8 + 6 + 3 = 1 nos extremos:
Como e , houve uma mudança de sinal, o que significa que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula do Método da Falsa Posição para encontrar a próxima aproximação da raiz:
c = b - G(b) cdot (b - a)G(b) - G(a)
Onde c = -2 - 1 cdot (-2 - (-3))1 - (-15) = -2 - 1 cdot 116 = -2 - 116 = -2.0625 , , e :

Passo 4

Agora, precisamos verificar o sinal de G(-2.0625) = (-2.0625)^3 - 3(-2.0625) + 3 approx -8.744 - (-6.1875) + 3 = -8.744 + 6.1875 + 3 approx 0.4435 para determinar o novo intervalo:
Como , a raiz está entre e .

Passo 5

Vamos repetir o processo com os novos extremos c = -2.0625 - 0.4435 cdot (-2.0625 - (-3))0.4435 - (-15) = -2.0625 - 0.4435 cdot 0.937515.4435 approx -2.0625 - 0.415315.4435 approx -2.0625 - 0.0269 = -2.0894 e :

Passo 6

Verificamos G(-2.0894) approx (-2.0894)^3 - 3(-2.0894) + 3 approx -9.138 - (-6.2682) + 3 approx -9.138 + 6.2682 + 3 approx 0.1302 :
Como , a raiz está entre e .

Passo 7

Repetimos o processo novamente:
c = -2.0894 - 0.1302 cdot (-2.0894 - (-3))0.1302 - (-15) = -2.0894 - 0.1302 cdot 0.910615.1302 approx -2.0894 - 0.118415.1302 approx -2.0894 - 0.0078 = -2.0972

Passo 8

Verificamos G(-2.0972) approx (-2.0972)^3 - 3(-2.0972) + 3 approx -9.215 - (-6.2916) + 3 approx -9.215 + 6.2916 + 3 approx 0.0766 :
Ainda , então a raiz está entre e .

Passo 9

Mais uma iteração:
c = -2.0972 - 0.0766 cdot (-2.0972 - (-3))0.0766 - (-15) = -2.0972 - 0.0766 cdot 0.902815.0766 approx -2.0972 - 0.069215.0766 approx -2.0972 - 0.0046 = -2.1018

Passo 10

Verificamos G(-2.1018) approx (-2.1018)^3 - 3(-2.1018) + 3 approx -9.297 - (-6.3054) + 3 approx -9.297 + 6.3054 + 3 approx 0.0084 :

Passo 11

Como o valor de está muito próximo de zero e a diferença entre as iterações é menor que , podemos parar aqui.

Resposta

A raiz aproximada de no intervalo com erro menor que é .

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