Encontre a relação entre as constantes a e b da equação de Berthelot e as constantes críticas. Dado: a equação de Berthelot é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a relação entre as constantes
e
da equação de Berthelot e as constantes críticas. A matéria envolve termodinâmica, especificamente equações de estado que descrevem o comportamento dos gases. Precisaremos usar conceitos de pontos críticos e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o ponto crítico é o ponto onde as propriedades do gás e do líquido se tornam indistinguíveis. Matemáticamente, isso significa que, no ponto crítico, a derivada da pressão
em relação ao volume molar
se anula, tanto a primeira quanto a segunda derivada.
Passo 3
Vamos começar escrevendo a equação de Berthelot:
Aqui,
é a constante dos gases,
é a temperatura, e
é o volume molar.
Passo 4
No ponto crítico, as condições são:
Vamos calcular a primeira derivada da equação de Berthelot em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada:
Passo 6
Temos agora um sistema de duas equações:
Vamos resolver a equação (1) para
:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação (2):
Simplificando:
Passo 8
Multiplicando toda a equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
As relações entre as constantes
e
da equação de Berthelot e as constantes críticas são:
Onde
é o volume molar crítico.
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