Encontre a relação entre as constantes a e b da equação de Berthelot e as constantes críticas. Dado: a equação de Berthelot é: p=R TVm-b-aT Vm ^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a relação entre as constantes e da equação de Berthelot e as constantes críticas. A matéria envolve termodinâmica, especificamente equações de estado que descrevem o comportamento dos gases. Precisaremos usar conceitos de pontos críticos e derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o ponto crítico é o ponto onde as propriedades do gás e do líquido se tornam indistinguíveis. Matemáticamente, isso significa que, no ponto crítico, a derivada da pressão em relação ao volume molar se anula, tanto a primeira quanto a segunda derivada.

Passo 3

Vamos começar escrevendo a equação de Berthelot:
p = R TVm - b - aT Vm^2
Aqui, é a constante dos gases, é a temperatura, e é o volume molar.

Passo 4

No ponto crítico, as condições são:
( partial ppartial Vm )T = 0 e ( partial^2 ppartial Vm^2 )T = 0
Vamos calcular a primeira derivada da equação de Berthelot em relação a partial ppartial Vm = -R T(Vm - b)^2 + 2aT Vm^3 = 0 :

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada:
partial^2 ppartial Vm^2 = 2 R T(Vm - b)^3 - 6aT Vm^4 = 0

Passo 6

Temos agora um sistema de duas equações:
-R T(Vm - b)^2 + 2aT Vm^3 = 0 (1)
2 R T(Vm - b)^3 - 6aT Vm^4 = 0 (2)
Vamos resolver a equação (1) para 2aT Vm^3 = R T(Vm - b)^2 :
a = R T^2 Vm^32 (Vm - b)^2

Passo 7

Agora, substituímos 2 R T(Vm - b)^3 - 6 ( R T^2 Vm^32 (Vm - b)^2 )T Vm^4 = 0 na equação (2):
2 R T(Vm - b)^3 - 3 R T(Vm - b)^2 Vm = 0
Simplificando:

Passo 8

Multiplicando toda a equação por 2 R T Vm - 3 R T (Vm - b) = 0 para eliminar os denominadores:
2 Vm - 3 Vm + 3 b = 0
- Vm + 3 b = 0 Rightarrow Vm = 3 b

Passo 9

Substituindo a = R Tc^2 (3b)^32 (3b - b)^2 = R Tc^2 27 b^32 (2b)^2 = 27 R Tc^2 b^38 b^2 = 27 R Tc^2 b8 na expressão de :

Resposta

As relações entre as constantes a = 27 R Tc^2 b8 e Vc = 3b da equação de Berthelot e as constantes críticas são:
Onde é o volume molar crítico.

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