Encontre a reta tangente à curva y=6+x3-x no ponto P=(0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da curva em um ponto específico. Precisamos calcular a derivada da função e avaliar no ponto dado para achar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função ddx(uv) = u'v - uv'v^2 . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é:
u' = ddx(6 + x) = 1
Aqui, v' = ddx(3 - x) = -1 e . Então, vamos encontrar as derivadas de e :

Passo 3

Agora, aplicando a regra do quociente:
y' = u'v - uv'v^2 = (1)(3 - x) - (6 + x)(-1)(3 - x)^2
Vamos simplificar o numerador:
1(3 - x) - (6 + x)(-1) = 3 - x + 6 + x = 9
Então, a derivada fica:
y' = 9(3 - x)^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto y'(0) = 9(3 - 0)^2 = 99 = 1 substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 5

Sabemos que a equação da reta tangente pode ser escrita na forma:
y - y1 = m(x - x1)
Onde y - 2 = 1(x - 0) é a inclinação e y = x + 2 é o ponto de tangência. No nosso caso, e . Substituindo esses valores:
Simplificando:

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é .

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