A função posição que modela a queda de um vaso de flores de uma janela situada a 30,6 metros do solo é s(t)=4,9 t^2+30,6, em que s é a altura em relação ao solo (medida em metros) e t é o tempo, medido em segundos (0 <= t <= 2,5). Nessas condições, determine o módulo da velocidade do vaso de flores quando este atinge o solo e marque a alternativa correspondente.
a) 14,7 m / s
b) 19,6 m / s
c) 24,5 m / s
d) 29,4 m / s
e) 49,0 m / s

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! A gente tem uma função que mostra a posição de um vaso de flores caindo de uma janela que está a 30,6 metros do chão. A função é , onde é a altura em metros e é o tempo em segundos, válido de 0 a 2,5 segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade do vaso quando ele bate no chão. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função 4,9 t^2 + 30,6 = 0 representa. Ela nos dá a altura do vaso em relação ao solo em qualquer instante de tempo . Queremos saber quando o vaso atinge o solo, ou seja, quando .
Então, vamos resolver a equação:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de 4,9 t^2 = -30,6 que faz essa equação verdadeira. Vamos isolar t^2 = -30,64,9 :
t^2 = -6,2449
s(t) = -4,9 t^2 + 30,6
-4,9 t^2 + 30,6 = 0
Aqui percebemos que houve um erro, porque o tempo não pode ser negativo e 4,9 t^2 = 30,6 não pode ser negativo. Na verdade, a função correta para a posição durante uma queda livre é:
t^2 = 30,64,9
Isso faz sentido porque a altura diminui com o tempo.
Vamos refazer a equação:
t^2 = 6,2449
t = raiz6,2449
t approx 2,5 segundos

Passo 4

Agora que sabemos que o vaso atinge o solo em aproximadamente 2,5 segundos, vamos encontrar a velocidade nesse instante. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar v(t) = dsdt = ddt(-4,9 t^2 + 30,6) = -9,8 t :

Passo 5

Agora, substituímos v(2,5) = -9,8 times 2,5 = -24,5 m/s na equação da velocidade:
O sinal negativo indica que a direção da velocidade é para baixo, mas como a questão pede o módulo da velocidade, vamos considerar apenas o valor positivo.

Resposta

A velocidade do vaso de flores quando atinge o solo é . A alternativa correta é a letra c) .

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