Encontre para as seguintes equações a diferença: , condições iniciais

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação dissível que você trouxe. A equação é para e zero para , com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações de diferenças lineares com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o lado direito não nulo:
Para resolver isso, usamos a equação característica. Substituímos por :
Dividindo todos os termos por (assumindo ):

Passo 3

Agora, vamos encontrar as raízes da equação característica:
Calculando o discriminante :
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:

Passo 4

Com raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
No nosso caso, e , então:
Como estamos trabalhando com diferenças, podemos reescrever usando potências de :

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é , tentamos uma solução particular da forma:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Substituindo na equação original:
Dividindo todos os termos por :
Simplificando:
Somando os termos:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Substituindo:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Simplificando:
Para :
Substituindo :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação dissível é:
Onde é uma constante determinada pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Encontre para as seguintes equações a diferença: , condições iniciais
Encontre para as seguintes equações a diferença:
Encontre para as seguintes equações a diferença: onde
Suponha que três lagos são conectados em série:
LAGO
Volume, 2 4 3
Profundidade 3 7 3
Área, 0,667 0,571 1,000
Carga ano 2000 4000 1000
Vazão, /ano 1,0 1,0 1,0
Se a espécie química, sedimenta a uma velocidade de ano e que que no instante , as cargas são eliminadas, calcule os perfis de concentração nas seguintes situações:
07:31
FERNANDO FERNANDES VIEIRA - DESA/UEPB 2024/1
57
© A concentração inicial do lago 1 é de , enquanto que no lago 2 e 3 as concentração são iguais a zero.