Encontre y(k) para as seguintes equações a diferença: y(k)+y(k-1)+y(k-2)=ll(12)^k, & k >= 0 0, & k<0, condições iniciais Rightarrow y(0)=1, y(1)=-12

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação dissível que você trouxe. A equação é para e zero para , com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações de diferenças lineares com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o lado direito não nulo:
y(k) + y(k-1) + y(k-2) = 0
Para resolver isso, usamos a equação característica. Substituímos r^k + r^k-1 + r^k-2 = 0 por r^2 + r + 1 = 0 :
Dividindo todos os termos por (assumindo ):

Passo 3

Agora, vamos encontrar as raízes da equação característica:
r^2 + r + 1 = 0
Calculando o discriminante De:
r = -b pm raizDe
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:

Passo 4

Com raízes complexas yh(k) = ( C1 cos(beta k) + C2 sin(beta k) ) cdot e^alpha k , a solução geral da equação homogênea é:
yh(k) = ( C1 cos( raiz32 k ) + C2 sin( raiz32 k ) ) ( e^-12 k )
No nosso caso, yh(k) = C1 ( e^-12 k cos( raiz32 k ) ) + C2 ( e^-12 k sin( raiz32 k ) ) e , então:
Como estamos trabalhando com diferenças, podemos reescrever usando potências de :

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular y(k) + y(k-1) + y(k-2) = ( 12 )^k para a equação completa:
yp(k) = A ( 12 )^k
Como o lado direito é , tentamos uma solução particular da forma:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Substituindo A ( 12 )^k + A ( 12 )^k-1 + A ( 12 )^k-2 = ( 12 )^k na equação original:
A ( 12 )^2 + A ( 12 )^1 + A = ( 12 )^2
Dividindo todos os termos por A4 + A2 + A = 14 :
A4 + 2A4 + 4A4 = 14
Simplificando:
7A4 = 14
Somando os termos:
A = 17
yp(k) = 17 ( 12 )^k
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
y(k) = yh(k) + yp(k)
Substituindo:
y(k) = C1 ( e^-12 k cos( raiz32 k ) ) + C2 ( e^-12 k sin( raiz32 k ) ) + 17 ( 12 )^k

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar y(0) = C1 cos(0) + C2 sin(0) + 17 ( 12 )^0 = 1 e C1 cdot 1 + C2 cdot 0 + 17 = 1 .
Para C1 + 17 = 1 :
C1 = 67
Simplificando:
y(1) = C1 e^-12 cos( raiz32 ) + C2 e^-12 sin( raiz32 ) + 17 ( 12 )^1 = -12
67 e^-12 cos( raiz32 ) + C2 e^-12 sin( raiz32 ) + 114 = -12
C2 = -12 - 67 e^-12 cos( raiz32 ) - 114 e^-12 sin( raiz32 )
Para :
Substituindo :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação dissível é:
y(k) = 67 e^-12 k cos( raiz32 k ) + C2 e^-12 k sin( raiz32 k ) + 17 ( 12 )^k
Onde é uma constante determinada pelas condições iniciais.

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