Encontre
para as seguintes equações a diferença:
, condições iniciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação dissível que você trouxe. A equação é
para
e zero para
, com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações de diferenças lineares com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o lado direito não nulo:
Para resolver isso, usamos a equação característica. Substituímos
por
:
Dividindo todos os termos por
(assumindo
):
Passo 3
Agora, vamos encontrar as raízes da equação característica:
Calculando o discriminante
:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
Passo 4
Com raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
No nosso caso,
e
, então:
Como estamos trabalhando com diferenças, podemos reescrever usando potências de
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Substituindo
na equação original:
Dividindo todos os termos por
:
Simplificando:
Somando os termos:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Substituindo:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Simplificando:
Para
:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação dissível é:
Onde
é uma constante determinada pelas condições iniciais.