Encontre
para as seguintes equações a diferença:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença que é assim:
.
Aqui estamos lidando com equações de diferenças, que são meio parecidas com equações diferenciais, mas no mundo das sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender de recorrência e como resolver equações lineares de diferenças com termos não homogêneos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte homogênea da equação, ou seja, ignorar o lado direito por enquanto:
Isso nos dá a equação característica associada:
Resolvendo para
:
Passo 3
Com as raízes características sendo complexas (
), a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes que determinaremos mais tarde.
Passo 4
Agora, vamos considerar a parte não homogênea da equação, que é
. Para encontrar uma solução particular
, presumimos uma forma semelhante à do lado direito. Contudo, como
já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar duplicação:
Passo 5
Substituindo
na equação original:
Isso envolve um pouco de cálculo, mas essencialmente vamos igualar os coeficientes dos termos seno e cosseno para resolver
e
.
Passo 6
Após resolver, encontramos que
e
. Portanto, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da particular:
Passo 8
Finalmente, aplicamos as condições iniciais
para
. Supondo
e
, podemos resolver para
e
.
Resolvido, obtemos
e
.
Resposta
A solução para
é:
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, condições iniciais
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