Encontre para as seguintes equações a diferença:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença que é assim: .
Aqui estamos lidando com equações de diferenças, que são meio parecidas com equações diferenciais, mas no mundo das sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender de recorrência e como resolver equações lineares de diferenças com termos não homogêneos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte homogênea da equação, ou seja, ignorar o lado direito por enquanto:
.
Isso nos dá a equação característica associada:
.
Resolvendo para :
.

Passo 3

Com as raízes características sendo complexas ( ), a solução geral da parte homogênea é:
,
onde e são constantes que determinaremos mais tarde.

Passo 4

Agora, vamos considerar a parte não homogênea da equação, que é . Para encontrar uma solução particular , presumimos uma forma semelhante à do lado direito. Contudo, como já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por para evitar duplicação:
.

Passo 5

Substituindo na equação original:
.
Isso envolve um pouco de cálculo, mas essencialmente vamos igualar os coeficientes dos termos seno e cosseno para resolver e .

Passo 6

Após resolver, encontramos que e . Portanto, a solução particular é:
.

Passo 7

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da particular:
.

Passo 8

Finalmente, aplicamos as condições iniciais para . Supondo e , podemos resolver para e .
Resolvido, obtemos e .

Resposta

A solução para é:

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