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para as seguintes equações a diferença:
, condições iniciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença juntos! A gente tem a equação:
Com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é encontrar a expressão para
que satisfaça essa equação. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, especificamente encontrando a solução da parte homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte esquerda da equação igualada a zero:
Para resolver isso, a gente supõe que a solução tem a forma
, onde
é um número que a gente precisa encontrar. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo tudo por
(supondo
):
Essa é a equação característica da nossa equação homogênea.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que a gente vai determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa. A parte não homogênea da equação é:
Para
, a equação fica:
Vamos tentar uma solução particular constante, ou seja,
, onde
é uma constante.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então,
Portanto, a solução particular é
.
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 7
Usando a condição inicial
:
Então,
Usando a condição inicial
:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Então,
Passo 8
Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas Equação 1 e Equação 2:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo
na Equação 1:
Passo 9
Agora que temos os valores de
e
, podemos escrever a solução completa:
Simplificando:
Resposta
A solução para a equação dada é:
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