Encontre y(k) para as seguintes equações a diferença: y(k)-52 y(k-1)+y(k-2)=l1, k >= 2 0, k<2, condições iniciais Rightarrow y(0)=0, y(1)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença juntos! A gente tem a equação:
y(k) - 52 y(k-1) + y(k-2) = 1, & k >= 2 0, & k < 2
Com as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar a expressão para que satisfaça essa equação. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, especificamente encontrando a solução da parte homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte esquerda da equação igualada a zero:
y(k) - 52 y(k-1) + y(k-2) = 0
Para resolver isso, a gente supõe que a solução tem a forma r^k - 52 r^k-1 + r^k-2 = 0 , onde r^2 - 52 r + 1 = 0 é um número que a gente precisa encontrar. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo tudo por (supondo ):
Essa é a equação característica da nossa equação homogênea.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^2 - 52 r + 1 = 0
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = 52 pm raiz( 52 )^2 - 4 cdot 1 cdot 12
Calculando o discriminante:
De
Então,
r = 52 pm 322
Isso nos dá duas raízes:
r1 = 52 + 322 = 42 = 2
r2 = 52 - 322 = 12

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(k) = A cdot 2^k + B cdot ( 12 )^k
Onde e são constantes que a gente vai determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa. A parte não homogênea da equação é:
1, & k >= 2 0, & k < 2
Para y(k) - 52 y(k-1) + y(k-2) = 1 , a equação fica:
C - 52 C + C = 1
Vamos tentar uma solução particular constante, ou seja, (1 - 52 + 1) C = 1 , onde (2 - 52) C = 1 é uma constante.
Substituindo na equação:
-12 C = 1
Simplificando:
C = -2
Então,
Portanto, a solução particular é .

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(k) = yh(k) + yp(k) = A cdot 2^k + B cdot ( 12 )^k - 2
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .

Passo 7

Usando a condição inicial 0 = A cdot 2^0 + B cdot ( 12 )^0 - 2 :
0 = A + B - 2
A + B = 2 (Equação 1)
Então,
0 = A cdot 2^1 + B cdot ( 12 )^1 - 2 çã
Usando a condição inicial 0 = 2A + B2 - 2 :
0 = 4A + B - 4
4A + B = 4 (Equação 2)
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Então,
çã

Passo 8

Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas Equação 1 e Equação 2:
A + B = 2 4A + B = 4
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(4A + B) - (A + B) = 4 - 2
3A = 2
A = 23
Substituindo 23 + B = 2 na Equação 1:
B = 2 - 23 = 43

Passo 9

Agora que temos os valores de y(k) = 23 cdot 2^k + 43 cdot ( 12 )^k - 2 e y(k) = 23 cdot 2^k + 43 cdot 2^-k - 2 , podemos escrever a solução completa:
Simplificando:

Resposta

A solução para a equação dada é:
y(k) = 23 cdot 2^k + 43 cdot 2^-k - 2

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