Encontre para as seguintes equações a diferença: , condições iniciais

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença juntos! A gente tem a equação:
Com as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar a expressão para que satisfaça essa equação. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, especificamente encontrando a solução da parte homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte esquerda da equação igualada a zero:
Para resolver isso, a gente supõe que a solução tem a forma , onde é um número que a gente precisa encontrar. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo tudo por (supondo ):
Essa é a equação característica da nossa equação homogênea.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que a gente vai determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa. A parte não homogênea da equação é:
Para , a equação fica:
Vamos tentar uma solução particular constante, ou seja, , onde é uma constante.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então,
Portanto, a solução particular é .

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .

Passo 7

Usando a condição inicial :
Então,
çã
Usando a condição inicial :
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Então,
çã

Passo 8

Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas Equação 1 e Equação 2:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:

Passo 9

Agora que temos os valores de e , podemos escrever a solução completa:
Simplificando:

Resposta

A solução para a equação dada é:

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