Encontre y(k) para as seguintes equações a diferença: y(k)-4 y(k-1)+6 y(k-2)=u(k) onde u(k)=ll(14)^k, & k >= 0 0, & k<0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de diferença:
y(k) - 4y(k-1) + 6y(k-2) = u(k)
E a função u(k) = (14)^k, & k >= 0 0, & k < 0 está definida da seguinte forma:
O conteúdo envolvido aqui é equações de diferença lineares com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada ( ) e uma solução particular ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, ignorando o lado direito da equação:
y(k) - 4y(k-1) + 6y(k-2) = 0
Para resolver isso, usamos a equação característica. Assumimos uma solução da forma r^k - 4r^k-1 + 6r^k-2 = 0 e substituímos na equação:
r^2 - 4r + 6 = 0
Dividindo cada termo por (supondo ):

Passo 3

Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de r^2 - 4r + 6 = 0 :
De
Calculando o discriminante ( r = 4 pm raiz-82 = 2 pm iraiz2 ):
Como o discriminante é negativo, as soluções serão complexas:

Passo 4

Com as raízes complexas, a solução geral da parte homogênea é:
yh(k) = A(2 + iraiz2)^k + B(2 - iraiz2)^k
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, mas como não temos essas condições, mantemos a solução assim.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp(k) = C(14)^k ) para a equação completa. Como o lado direito é da forma , tentamos uma solução particular dessa forma:

Passo 6

Substituímos C(14)^k - 4C(14)^k-1 + 6C(14)^k-2 = (14)^k na equação original:
C - 4C cdot 4 + 6C cdot 16 = 1
Dividindo todos os termos por C - 16C + 96C = 1 81C = 1 C = 181 :
Simplificando:

Passo 7

Assim, a solução particular é:
yp(k) = 181(14)^k

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação de diferença é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(k) = yh(k) + yp(k) y(k) = A(2 + iraiz2)^k + B(2 - iraiz2)^k + 181(14)^k

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
y(k) = A(2 + iraiz2)^k + B(2 - iraiz2)^k + 181(14)^k
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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