Encontre
para as seguintes equações a diferença:
onde
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de diferença:
E a função
está definida da seguinte forma:
O conteúdo envolvido aqui é equações de diferença lineares com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada (
) e uma solução particular (
).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, ignorando o lado direito da equação:
Para resolver isso, usamos a equação característica. Assumimos uma solução da forma
e substituímos na equação:
Dividindo cada termo por
(supondo
):
Passo 3
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo, as soluções serão complexas:
Passo 4
Com as raízes complexas, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, mas como não temos essas condições, mantemos a solução assim.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa. Como o lado direito
é da forma
, tentamos uma solução particular dessa forma:
Passo 6
Substituímos
na equação original:
Dividindo todos os termos por
:
Simplificando:
Passo 7
Assim, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação de diferença é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação de diferença é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.