Encontre y(k) para as seguintes equações a diferença: y(k)+7 y(k-1)+12 y(k-2)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação a diferença que você passou: . Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos descobrir. Isso é uma técnica comum para resolver equações lineares com coeficientes constantes.

Passo 3

Agora, substituímos r^k + 7r^k-1 + 12r^k-2 = 0 na equação original:
r^2 + 7r + 12 = 0
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por :
Essa é a equação característica da nossa equação a diferença.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática r^2 + 3r + 4r + 12 = 0 r(r + 3) + 4(r + 3) = 0 (r + 4)(r + 3) = 0 . Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos tentar fatorar:
Portanto, as raízes são e .

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação a diferença é dada por:
y(k) = A(-4)^k + B(-3)^k
onde e são constantes que seriam determinadas por condições iniciais, caso fossem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação a diferença é , onde e são constantes.

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