Encontre y(k) para as seguintes equações a diferença: 12 y(k)+7 y(k-1)+y(k-2)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação de diferença dada:
12, y(k) + 7, y(k-1) + y(k-2) = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Isso significa que a equação relaciona valores de em diferentes instantes , e todos os termos possuem a mesma natureza (não há termos independentes). Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação utilizando o método da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação de diferença. A equação característica é uma ferramenta que nos ajuda a encontrar soluções da forma 12, r^k + 7, r^k-1 + r^k-2 = 0 . Substituindo essa forma na equação original, temos:
12, r^2 + 7, r + 1 = 0
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por 12, r^2 + 7, r + 1 = 0 :
Essa é a nossa equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a . Trata-se de uma equação quadrática da forma r = -7 pm raiz7^2 - 4 times 12 times 12 times 12 . Usaremos a fórmula de Bhaskara:
De
Identificando os coeficientes:
  • r1 = -7 + raiz124 = -7 + 124 = -624 = -14
  • r2 = -7 - raiz124 = -7 - 124 = -824 = -13
Substituindo na fórmula:
Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas raízes reais e distintas:

Passo 4

Com as raízes y(k) = C1 ( r1 )^k + C2 ( r2 )^k e y(k) = C1 ( -14 )^k + C2 ( -13 )^k , podemos escrever a solução geral da equação de diferença. Quando temos raízes reais e distintas, a solução geral é dada por:
Substituindo os valores das raízes:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema (não fornecidas no enunciado).

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
y(k) = C1 ( -14 )^k + C2 ( -13 )^k
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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