Encontre para as seguintes equações a diferença:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação de diferença dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Isso significa que a equação relaciona valores de em diferentes instantes , e todos os termos possuem a mesma natureza (não há termos independentes). Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação utilizando o método da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação de diferença. A equação característica é uma ferramenta que nos ajuda a encontrar soluções da forma . Substituindo essa forma na equação original, temos:
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por :
Essa é a nossa equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de . Trata-se de uma equação quadrática da forma . Usaremos a fórmula de Bhaskara:
Identificando os coeficientes:
Substituindo na fórmula:
Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas raízes reais e distintas:

Passo 4

Com as raízes e , podemos escrever a solução geral da equação de diferença. Quando temos raízes reais e distintas, a solução geral é dada por:
Substituindo os valores das raízes:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema (não fornecidas no enunciado).

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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