Encontre
para as seguintes equações a diferença:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação de diferença dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Isso significa que a equação relaciona valores de
em diferentes instantes
, e todos os termos possuem a mesma natureza (não há termos independentes). Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação utilizando o método da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação de diferença. A equação característica é uma ferramenta que nos ajuda a encontrar soluções da forma
. Substituindo essa forma na equação original, temos:
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por
:
Essa é a nossa equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de
. Trata-se de uma equação quadrática da forma
. Usaremos a fórmula de Bhaskara:
Identificando os coeficientes:
Substituindo na fórmula:
Calculando o discriminante (
):
Como
, temos duas raízes reais e distintas:
Passo 4
Com as raízes
e
, podemos escrever a solução geral da equação de diferença. Quando temos raízes reais e distintas, a solução geral é dada por:
Substituindo os valores das raízes:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema (não fornecidas no enunciado).
Resposta
A solução geral da equação de diferença é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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, condições iniciais