Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin.
f(x)=x1-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função . A série de Maclaurin é uma maneira de representar funções como somas infinitas de potências de , e para isso vamos usar a definição dela. Vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como elas se relacionam com a série de Maclaurin.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
sumn=0^infty ar^n
onde é o primeiro termo e é a razão comum. Essa série converge quando .

Passo 3

Agora, vamos observar a função f(x) = x cdot 11 - x . Podemos reescrevê-la de uma forma que se pareça com a fórmula da série geométrica. Vamos fatorar o em cima:

Passo 4

Sabemos que a série geométrica para 11 - x = sumn=0^infty x^n para |x| < 1 é:
f(x) = x cdot sumn=0^infty x^n
Portanto, podemos substituir isso na nossa expressão para :

Passo 5

Agora, vamos multiplicar o f(x) = x cdot sumn=0^infty x^n = sumn=0^infty x^n+1 pela série. Isso significa multiplicar cada termo da série por f(x) = sumn=1^infty x^n :
Podemos reindexar a soma para facilitar, deixando começando de 1:

Passo 6

Finalmente, podemos escrever a série de Maclaurin de f(x) = sumn=1^infty x^n = x + x^2 + x^3 + x^4 + dots para |x| < 1 :

Resposta

A série de Maclaurin de f(x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + dots = sumn=1^infty x^n para |x| < 1 é:

Exercícios relacionados