Encontre a série de Maclaurin de
usando a definição de uma série de Maclaurin.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função
. A série de Maclaurin é uma maneira de representar funções como somas infinitas de potências de
, e para isso vamos usar a definição dela. Vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como elas se relacionam com a série de Maclaurin.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
onde
é o primeiro termo e
é a razão comum. Essa série converge quando
.
Passo 3
Agora, vamos observar a função
. Podemos reescrevê-la de uma forma que se pareça com a fórmula da série geométrica. Vamos fatorar o
em cima:
Passo 4
Sabemos que a série geométrica para
é:
Portanto, podemos substituir isso na nossa expressão para
:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar o
pela série. Isso significa multiplicar cada termo da série por
:
Podemos reindexar a soma para facilitar, deixando
começando de 1:
Passo 6
Finalmente, podemos escrever a série de Maclaurin de
:
Resposta
A série de Maclaurin de
é: