Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funçōes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de Taylor! O enunciado pede para a gente encontrar a série de Taylor ou Maclaurin para a função
em torno de
. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre séries de potências. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e como montar a série de Maclaurin.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor onde o ponto
. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função
é:
Aqui,
representa a n-ésima derivada de
avaliada em 0.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
. A derivada de
em relação a
é sempre proporcional a si mesma:
Avaliar essa derivada em
nos dá:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula da série de Maclaurin:
Passo 5
Então, a série de Maclaurin para
é:
Resposta
A série de Maclaurin para
em torno de
é:
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.
(2,0 pontos) Aplique o método de Newton para determinar uma raiz da função complexa
.
Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funçōes.
Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funçōes.