Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto dado para as seguintes funçōes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de Taylor! O enunciado pede para a gente encontrar a série de Taylor ou Maclaurin para a função em torno de . Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre séries de potências. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e como montar a série de Maclaurin.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor onde o ponto . A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em 0.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de . A derivada de em relação a é sempre proporcional a si mesma:
Avaliar essa derivada em nos dá:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula da série de Maclaurin:

Passo 5

Então, a série de Maclaurin para é:

Resposta

A série de Maclaurin para em torno de é:

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Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto dado para as seguintes funçōes.
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