Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funçōes.
f(x)=e^2 x c=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de Taylor! O enunciado pede para a gente encontrar a série de Taylor ou Maclaurin para a função em torno de . Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre séries de potências. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e como montar a série de Maclaurin.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor onde o ponto f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n . A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em 0.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f^(n)(x) = (2)^n e^2x . A derivada de f^(n)(0) = 2^n e^0 = 2^n em relação a é sempre proporcional a si mesma:
Avaliar essa derivada em nos dá:

Passo 4

Agora, substituímos f(x) = sumn=0^infty 2^nn! x^n na fórmula da série de Maclaurin:

Passo 5

Então, a série de Maclaurin para e^2x = sumn=0^infty (2x)^nn! é:

Resposta

A série de Maclaurin para e^2x = sumn=0^infty 2^nn! x^n em torno de é:

Exercícios relacionados