Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funçōes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Taylor ou Maclaurin para a função
em torno do ponto
. Isso significa que vamos expandir essa função em uma série de potências centrada em
. Para isso, vamos precisar usar derivadas da função e entender como montar a série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é uma soma infinita que aproxima a função usando derivadas calculadas naquele ponto. A fórmula geral é:
Vamos aplicar isso à nossa função
.
Passo 3
Primeiro, calculamos
, onde
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
:
E avaliamos em
:
Passo 5
Segunda derivada:
E avaliamos em
(nesse caso, a derivada é constante):
Passo 6
Vamos observar as derivadas superiores. Calculando a terceira derivada:
E assim por diante, todas as derivadas de ordem maior que 2 serão zero porque a função é um polinômio de grau 2.
Passo 7
Agora, montamos a série de Taylor usando os valores encontrados:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é:
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