Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funçōes.
f(x)=1+x^2 c=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Taylor ou Maclaurin para a função em torno do ponto . Isso significa que vamos expandir essa função em uma série de potências centrada em . Para isso, vamos precisar usar derivadas da função e entender como montar a série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + f''(c)2!(x - c)^2 + f'''(c)3!(x - c)^3 + dots em torno de um ponto é uma soma infinita que aproxima a função usando derivadas calculadas naquele ponto. A fórmula geral é:
Vamos aplicar isso à nossa função .

Passo 3

Primeiro, calculamos f(2) = 1 + (2)^2 = 1 + 4 = 5 , onde :

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de f'(x) = ddx(1 + x^2) = 2x :
f'(2) = 2 times 2 = 4
E avaliamos em :

Passo 5

Segunda derivada:
f''(x) = ddx(2x) = 2
E avaliamos em f''(2) = 2 (nesse caso, a derivada é constante):

Passo 6

Vamos observar as derivadas superiores. Calculando a terceira derivada:
f'''(x) = ddx(2) = 0
E assim por diante, todas as derivadas de ordem maior que 2 serão zero porque a função é um polinômio de grau 2.

Passo 7

Agora, montamos a série de Taylor usando os valores encontrados:
f(x) = f(2) + f'(2)(x - 2) + f''(2)2!(x - 2)^2
Substituindo os valores:
f(x) = 5 + 4(x - 2) + 22(x - 2)^2
Simplificando:
f(x) = 5 + 4(x - 2) + (x - 2)^2

Resposta

A série de Taylor de f(x) = 5 + 4(x - 2) + (x - 2)^2 em torno de é:

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