Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto dado para as seguintes funçōes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Taylor ou Maclaurin para a função em torno do ponto . Isso significa que vamos expandir essa função em uma série de potências centrada em . Para isso, vamos precisar usar derivadas da função e entender como montar a série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de um ponto é uma soma infinita que aproxima a função usando derivadas calculadas naquele ponto. A fórmula geral é:
Vamos aplicar isso à nossa função .

Passo 3

Primeiro, calculamos , onde :

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de :
E avaliamos em :

Passo 5

Segunda derivada:
E avaliamos em (nesse caso, a derivada é constante):

Passo 6

Vamos observar as derivadas superiores. Calculando a terceira derivada:
E assim por diante, todas as derivadas de ordem maior que 2 serão zero porque a função é um polinômio de grau 2.

Passo 7

Agora, montamos a série de Taylor usando os valores encontrados:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:

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