(2,0 pontos) Aplique o método de Newton para determinar uma raiz da função complexa
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Método de Newton para achar uma raiz da função complexa
. Isso envolve calcular sucessivas aproximações para chegar perto de um valor de
que faz
igual a zero. Vamos precisar da fórmula do Método de Newton e saber como calcular a derivada dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do Método de Newton. Ela é usada para encontrar raízes de funções e é dada por:
Aqui,
é a aproximação atual e
é a próxima aproximação. Precisamos também calcular a derivada da função
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Usando as regras de derivação, temos:
Então, a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, precisamos fazer uma estimativa inicial para começar o processo. Vamos escolher
como nosso ponto de partida. Essa escolha é arbitrária, mas
é uma boa candidata para começar.
Passo 5
Vamos aplicar a fórmula do Método de Newton com
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Atualizar
:
Passo 6
Vamos fazer uma segunda iteração com
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Atualizar
:
Passo 7
Continuando com
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Atualizar
:
Passo 8
Vamos fazer mais algumas iterações até que a aproximação estabilize:
4ª iteração (
):
5ª iteração (
):
Continuando desse jeito, vemos que as aproximações estão se aproximando de uma raiz.
Resposta
Após aplicar o Método de Newton várias vezes, a raiz aproximada da função
é
.
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(2,0 pontos) Utilize o método da secante para determinar uma raiz da função
com
.
Responda verdadeiro ou falso (e justifique):
. Se
então o sistema linear
admite solução única.
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.
Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funçōes.