(2,0 pontos) Aplique o método de Newton para determinar uma raiz da função complexa .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Método de Newton para achar uma raiz da função complexa . Isso envolve calcular sucessivas aproximações para chegar perto de um valor de que faz igual a zero. Vamos precisar da fórmula do Método de Newton e saber como calcular a derivada dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do Método de Newton. Ela é usada para encontrar raízes de funções e é dada por:
Aqui, é a aproximação atual e é a próxima aproximação. Precisamos também calcular a derivada da função .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Usando as regras de derivação, temos:
Então, a derivada de é .

Passo 4

Agora, precisamos fazer uma estimativa inicial para começar o processo. Vamos escolher como nosso ponto de partida. Essa escolha é arbitrária, mas é uma boa candidata para começar.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula do Método de Newton com :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Atualizar :

Passo 6

Vamos fazer uma segunda iteração com :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Atualizar :

Passo 7

Continuando com :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Atualizar :

Passo 8

Vamos fazer mais algumas iterações até que a aproximação estabilize:
4ª iteração ( ):
5ª iteração ( ):
Continuando desse jeito, vemos que as aproximações estão se aproximando de uma raiz.

Resposta

Após aplicar o Método de Newton várias vezes, a raiz aproximada da função é .

Exercícios relacionados

(2,0 pontos) Utilize o método da secante para determinar uma raiz da função com .
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): . Se então o sistema linear admite solução única.
(3,0 pontos) Demonstre o método dos gradientes para resolução de equações polinomiais complexas e, a partir do método, determine uma raiz da função complexa .
Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto dado para as seguintes funçōes.