(2,0 pontos) Aplique o método de Newton para determinar uma raiz da função complexa f(z)=e^z-z^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Método de Newton para achar uma raiz da função complexa . Isso envolve calcular sucessivas aproximações para chegar perto de um valor de que faz igual a zero. Vamos precisar da fórmula do Método de Newton e saber como calcular a derivada dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do Método de Newton. Ela é usada para encontrar raízes de funções e é dada por:
zn+1 = zn - f(zn)f'(zn)
Aqui, é a aproximação atual e é a próxima aproximação. Precisamos também calcular a derivada da função .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f'(z) = ddz(e^z) - ddz(z^3) = e^z - 3z^2 . Usando as regras de derivação, temos:
Então, a derivada de é .

Passo 4

Agora, precisamos fazer uma estimativa inicial para começar o processo. Vamos escolher como nosso ponto de partida. Essa escolha é arbitrária, mas é uma boa candidata para começar.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula do Método de Newton com f(1) = e^1 - 1^3 = e - 1 approx 2.718 - 1 = 1.718 :
  1. Calcular f'(1) = e^1 - 3 times 1^2 = e - 3 approx 2.718 - 3 = -0.282 :
z1 = z0 - f(z0)f'(z0) = 1 - 1.718-0.282 approx 1 + 6.094 = 7.094
  1. Calcular :
  1. Atualizar :

Passo 6

Vamos fazer uma segunda iteração com f(7.094) = e^7.094 - (7.094)^3 approx 1195.8 - 356.2 = 839.6 :
  1. Calcular f'(7.094) = e^7.094 - 3 times (7.094)^2 approx 1195.8 - 150.8 = 1045.0 :
z2 = z1 - f(z1)f'(z1) = 7.094 - 839.61045.0 approx 7.094 - 0.804 = 6.290
  1. Calcular :
  1. Atualizar :

Passo 7

Continuando com f(6.290) = e^6.290 - (6.290)^3 approx 538.1 - 249.1 = 289.0 :
  1. Calcular f'(6.290) = e^6.290 - 3 times (6.290)^2 approx 538.1 - 119.0 = 419.1 :
z3 = z2 - f(z2)f'(z2) = 6.290 - 289.0419.1 approx 6.290 - 0.690 = 5.600
  1. Calcular :
  1. Atualizar :

Passo 8

Vamos fazer mais algumas iterações até que a aproximação estabilize:
4ª iteração ( f(5.600) approx e^5.600 - 5.600^3 approx 270.4 - 175.6 = 94.8 ):
f'(5.600) approx e^5.600 - 3 times 5.600^2 approx 270.4 - 94.1 = 176.3
z4 = 5.600 - 94.8176.3 approx 5.600 - 0.538 = 5.062
f(5.062) approx e^5.062 - 5.062^3 approx 158.8 - 129.8 = 29.0
5ª iteração ( f'(5.062) approx e^5.062 - 3 times 5.062^2 approx 158.8 - 76.8 = 82.0 ):
z5 = 5.062 - 29.082.0 approx 5.062 - 0.354 = 4.708
Continuando desse jeito, vemos que as aproximações estão se aproximando de uma raiz.

Resposta

Após aplicar o Método de Newton várias vezes, a raiz aproximada da função é .

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