Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funçōes.
f(x)=cos x c=pi4

Passo 1

Beleza, temos que encontrar a série de Taylor da função em torno do ponto . Isso significa que vamos expandir a função em uma série infinita que aproxima perto de . Para isso, vamos precisar saber a fórmula da série de Taylor e calcular algumas derivadas da função no ponto .

Passo 2

A série de Taylor de uma função f(x) = sumn=0^infty f^(n)(c)n! (x - c)^n em torno de um ponto é dada por:
Aqui, é a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de . Nosso objetivo é encontrar essas derivadas para a função no ponto .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Perceba que as derivadas se repetem a cada 4 termos, formando um ciclo.

Passo 4

Agora, vamos montar a série de Taylor usando os valores das derivadas que calculamos:
cos x = raiz22 + (-raiz22)(x - pi4) + -raiz222!(x - pi4)^2 + raiz223!(x - pi4)^3 + cdots
Simplificando os termos:
cos x = raiz22 - raiz22(x - pi4) - raiz24(x - pi4)^2 + raiz212(x - pi4)^3 + cdots

Resposta

A série de Taylor da função cos x = raiz22 - raiz22(x - pi4) - raiz24(x - pi4)^2 + raiz212(x - pi4)^3 - cdots em torno do ponto cos x = sumn=0^infty f^(n)(pi4)n! (x - pi4)^n é:
Ou, de forma geral:

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