Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto dado para as seguintes funçōes.

Passo 1

Beleza, temos que encontrar a série de Taylor da função em torno do ponto . Isso significa que vamos expandir a função em uma série infinita que aproxima perto de . Para isso, vamos precisar saber a fórmula da série de Taylor e calcular algumas derivadas da função no ponto .

Passo 2

A série de Taylor de uma função em torno de um ponto é dada por:
Aqui, é a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de . Nosso objetivo é encontrar essas derivadas para a função no ponto .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Perceba que as derivadas se repetem a cada 4 termos, formando um ciclo.

Passo 4

Agora, vamos montar a série de Taylor usando os valores das derivadas que calculamos:
Simplificando os termos:

Resposta

A série de Taylor da função em torno do ponto é:
Ou, de forma geral:

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