Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funçōes.
Passo 1
Beleza, temos que encontrar a série de Taylor da função
em torno do ponto
. Isso significa que vamos expandir a função em uma série infinita que aproxima
perto de
. Para isso, vamos precisar saber a fórmula da série de Taylor e calcular algumas derivadas da função no ponto
.
Passo 2
A série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é dada por:
Aqui,
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
. Nosso objetivo é encontrar essas derivadas para a função
no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Perceba que as derivadas se repetem a cada 4 termos, formando um ciclo.
Passo 4
Agora, vamos montar a série de Taylor usando os valores das derivadas que calculamos:
Simplificando os termos:
Resposta
A série de Taylor da função
em torno do ponto
é:
Ou, de forma geral:
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.
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