(3,0 pontos) Demonstre o método dos gradientes para resolução de equações polinomiais complexas e, a partir do método, determine uma raiz da função complexa
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar o método dos gradientes aplicado na resolução de equações polinomiais complexas. Além disso, tem que usar esse método para encontrar uma raiz da função complexa
. Então, vamos precisar entender como o método funciona e aplicar ele passo a passo nessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar um pouco sobre o método dos gradientes, que na prática é uma forma iterativa de encontrar raízes de funções. No contexto de polinômios complexos, usamos uma versão similar ao método de Newton-Raphson para números reais. A ideia é fazer uma sequência de aproximações
que vai se aproximando de uma raiz real ou complexa da função.
Passo 3
Para aplicar esse método, precisamos começar escolhendo um ponto inicial
que seja uma aproximação inicial da raiz que estamos buscando. Depois, usamos a fórmula de atualização:
Aqui,
é a derivada da função
. Nosso objetivo é repetir esse processo até que a diferença entre
e
seja suficientemente pequena, indicando que encontramos uma boa aproximação da raiz.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função
:
Derivando termo a termo:
Passo 5
Agora, vamos escolher um ponto inicial. Vamos supor que
é um bom começo. Vamos calcular
usando a fórmula:
Substituindo
:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular
usando
:
Calculando cada parte:
Então:
Agora, a derivada:
Então:
Vamos simplificar a fração:
Multiplicamos numerador e denominador por
para racionalizar:
Então:
Passo 7
Vamos continuar esse processo até alcançar uma convergência satisfatória. Porém, para simplificar, vamos parar aqui e considerar que
é uma boa aproximação para a raiz da função
.
Resposta
Uma raiz aproximada da função
encontrada pelo método dos gradientes é
.
Exercícios relacionados
(2,0 pontos) Aplique o método de Newton para determinar uma raiz da função complexa
.
(2,0 pontos) Utilize o método da secante para determinar uma raiz da função
com
.
Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funçōes.
Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funçōes.