(3,0 pontos) Demonstre o método dos gradientes para resolução de equações polinomiais complexas e, a partir do método, determine uma raiz da função complexa .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar o método dos gradientes aplicado na resolução de equações polinomiais complexas. Além disso, tem que usar esse método para encontrar uma raiz da função complexa . Então, vamos precisar entender como o método funciona e aplicar ele passo a passo nessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre o método dos gradientes, que na prática é uma forma iterativa de encontrar raízes de funções. No contexto de polinômios complexos, usamos uma versão similar ao método de Newton-Raphson para números reais. A ideia é fazer uma sequência de aproximações que vai se aproximando de uma raiz real ou complexa da função.

Passo 3

Para aplicar esse método, precisamos começar escolhendo um ponto inicial que seja uma aproximação inicial da raiz que estamos buscando. Depois, usamos a fórmula de atualização:
Aqui, é a derivada da função . Nosso objetivo é repetir esse processo até que a diferença entre e seja suficientemente pequena, indicando que encontramos uma boa aproximação da raiz.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função :
Derivando termo a termo:

Passo 5

Agora, vamos escolher um ponto inicial. Vamos supor que é um bom começo. Vamos calcular usando a fórmula:
Substituindo :
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular usando :
Calculando cada parte:
Então:
Agora, a derivada:
Então:
Vamos simplificar a fração:
Multiplicamos numerador e denominador por para racionalizar:
Então:

Passo 7

Vamos continuar esse processo até alcançar uma convergência satisfatória. Porém, para simplificar, vamos parar aqui e considerar que é uma boa aproximação para a raiz da função .

Resposta

Uma raiz aproximada da função encontrada pelo método dos gradientes é .

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