Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto dado para as seguintes funçōes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar a série de Taylor, ou mais especificamente a série de Maclaurin, para a função em torno do ponto . Para isso, vamos utilizar o conceito de expansão em série de Taylor, que nos permite expressar funções como somas infinitas de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É um caso particular da série de Taylor onde o ponto de expansão é igual a zero. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas da função avaliadas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em . Sabemos que a derivada de em relação a é:
Então, avaliando em :

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Maclaurin:

Passo 5

Podemos simplificar a expressão utilizando a definição da série exponencial. Sabemos que:
Comparando com a nossa série, vemos que ela representa , que é igual a .

Resposta

A série de Maclaurin para a função é:

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