Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funçōes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar a série de Taylor, ou mais especificamente a série de Maclaurin, para a função
em torno do ponto
. Para isso, vamos utilizar o conceito de expansão em série de Taylor, que nos permite expressar funções como somas infinitas de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É um caso particular da série de Taylor onde o ponto de expansão
é igual a zero. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função
é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas da função
avaliadas em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é:
Então, avaliando em
:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
Passo 5
Podemos simplificar a expressão utilizando a definição da série exponencial. Sabemos que:
Comparando com a nossa série, vemos que ela representa
, que é igual a
.
Resposta
A série de Maclaurin para a função
é:
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