Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funçōes.
f(x)=2^x c=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar a série de Taylor, ou mais especificamente a série de Maclaurin, para a função em torno do ponto . Para isso, vamos utilizar o conceito de expansão em série de Taylor, que nos permite expressar funções como somas infinitas de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É um caso particular da série de Taylor onde o ponto de expansão f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + dots é igual a zero. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas da função avaliadas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f^(n)(x) = (ln 2)^n cdot 2^x e avaliá-las em f^(n)(0) = (ln 2)^n cdot 2^0 = (ln 2)^n . Sabemos que a derivada de em relação a é:
Então, avaliando em :

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n = sumn=0^infty (ln 2)^nn! x^n

Passo 5

Podemos simplificar a expressão utilizando a definição da série exponencial. Sabemos que:
e^a = sumn=0^infty a^nn!
Comparando com a nossa série, vemos que ela representa , que é igual a .

Resposta

A série de Maclaurin para a função 2^x = sumn=0^infty (ln 2)^nn! x^n é:

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