Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto dado para as seguintes funçōes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Taylor para a função em torno do ponto . Isso significa que vamos expandir a função em uma série infinita que aproxima perto de . Para isso, vamos precisar usar a fórmula da série de Taylor e calcular as derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série de Taylor para uma função em torno de :
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de avaliadas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
E assim por diante.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Continuaremos seguindo esse padrão para as próximas derivadas.

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A série de Taylor para em torno de é:

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