Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funçōes.
f(x)=1x c=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Taylor para a função em torno do ponto . Isso significa que vamos expandir a função em uma série infinita que aproxima perto de . Para isso, vamos precisar usar a fórmula da série de Taylor e calcular as derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série de Taylor para uma função f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + f''(c)2!(x - c)^2 + f'''(c)3!(x - c)^3 + dots em torno de :
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de avaliadas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f(x) = x^-1 :
f'(x) = -x^-2 = -1x^2
f''(x) = 2x^-3 = 2x^3
f'''(x) = -6x^-4 = -6x^4
E assim por diante.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto f(2) = 12 :
f'(2) = -12^2 = -14
f''(2) = 22^3 = 28 = 14
f'''(2) = -62^4 = -616 = -38
Continuaremos seguindo esse padrão para as próximas derivadas.

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
f(x) = 12 - 14(x - 2) + 14 cdot (x - 2)^22! - 38 cdot (x - 2)^33! + dots
Simplificando os coeficientes:
f(x) = 12 - 14(x - 2) + 18(x - 2)^2 - 116(x - 2)^3 + dots

Resposta

A série de Taylor para f(x) = 12 - 14(x - 2) + 18(x - 2)^2 - 116(x - 2)^3 + dots em torno de é:

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