Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto dado para as seguintes funçōes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a série de Taylor ou Maclaurin da função em torno de . Isso envolve usar conceitos de séries de potências para aproximar funções. Para isso, vamos precisar entender como expandir logaritmos usando séries de Maclaurin.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Podemos reescrevê-la de uma maneira que facilite a aplicação da série de Maclaurin:
Usando propriedades dos logaritmos, isso fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte . Sabemos que a série de Maclaurin para é:
Aqui, . Vamos substituir:

Passo 4

Simplificando cada termo:

Passo 5

Lembrando que já tínhamos a parte , vamos juntar tudo:

Resposta

A série de Maclaurin para em torno de é:
Ou de forma geral:

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Repita o exercício 1 para o sistema abaixo: