Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funçōes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a série de Taylor ou Maclaurin da função
em torno de
. Isso envolve usar conceitos de séries de potências para aproximar funções. Para isso, vamos precisar entender como expandir logaritmos usando séries de Maclaurin.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Podemos reescrevê-la de uma maneira que facilite a aplicação da série de Maclaurin:
Usando propriedades dos logaritmos, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte
. Sabemos que a série de Maclaurin para
é:
Aqui,
. Vamos substituir:
Passo 4
Simplificando cada termo:
Passo 5
Lembrando que já tínhamos a parte
, vamos juntar tudo:
Resposta
A série de Maclaurin para
em torno de
é:
Ou de forma geral:
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dado para as seguintes funçōes.
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Repita o exercício 1 para o sistema abaixo: