Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funçōes.
f(x)=ln (3+x) c=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a série de Taylor ou Maclaurin da função em torno de . Isso envolve usar conceitos de séries de potências para aproximar funções. Para isso, vamos precisar entender como expandir logaritmos usando séries de Maclaurin.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função ln(3 + x) = ln(3(1 + x3)) . Podemos reescrevê-la de uma maneira que facilite a aplicação da série de Maclaurin:
ln(3) + ln(1 + x3)
Usando propriedades dos logaritmos, isso fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte ln(1 + u) = u - u^22 + u^33 - u^44 + cdots . Sabemos que a série de Maclaurin para ln(1 + x3) = x3 - (x3)^22 + (x3)^33 - (x3)^44 + cdots é:
Aqui, . Vamos substituir:

Passo 4

Simplificando cada termo:
x3 - x^218 + x^381 - x^4324 + cdots

Passo 5

Lembrando que já tínhamos a parte ln(3 + x) = ln(3) + x3 - x^218 + x^381 - x^4324 + cdots , vamos juntar tudo:

Resposta

A série de Maclaurin para ln(3 + x) = ln(3) + x3 - x^218 + x^381 - x^4324 + cdots em torno de ln(3 + x) = ln(3) + sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn cdot 3^n é:
Ou de forma geral:

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