Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funçōes.
f(x)=x sen 2 x c=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin para a função em torno de . Série de Maclaurin é um tipo especial de série de Taylor onde expandimos a função em torno de zero. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função e fazer algumas manipulações para adaptá-la à nossa função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin para . A série de Maclaurin da função é dada por:
Essa série nos permite expressar como uma soma infinita de termos polinomiais.

Passo 3

Agora, como nossa função é , vamos substituir sen(2x) = sumn=0^infty (-1)^n (2x)^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n 2^2n+1 x^2n+1(2n+1)! por na série de :

Passo 4

Agora, multiplicamos a série de por f(x) = x sen(2x) = x cdot sumn=0^infty (-1)^n 2^2n+1 x^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n 2^2n+1 x^2n+2(2n+1)! para obter :

Resposta

A série de Maclaurin para a função é:
f(x) = sumn=0^infty (-1)^n 2^2n+1 x^2n+2(2n+1)!

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