Utilize o Método de Newton para encontrar uma solução aproximada da equação
e tomando três pontos iniciais diferentes:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação
usando o Método de Newton. Esse método é uma técnica de aproximação para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar da função
e da sua derivada
. O objetivo é encontrar um valor de
que torne
bem próximo de zero, com uma precisão de
. Vamos começar com três pontos iniciais diferentes:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a função
e a sua derivada
. Sem conhecê-las, não conseguimos aplicar o Método de Newton. Supondo que a função seja, por exemplo,
, então sua derivada seria
. Vamos usar esse exemplo para ilustrar.
Passo 3
O Método de Newton funciona da seguinte maneira: a cada iteração, atualizamos o valor de
usando a fórmula
Isso nos aproxima cada vez mais da raiz da função.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para cada um dos pontos iniciais.
Para
:
- Calculamos
. - Calculamos
. - Atualizamos
:
Checamos a diferença
, que é maior que
, então repetimos o processo.
Para
:
- Calculamos
. - Calculamos
. - Atualizamos
:
Diferença:
.
Para
:
- Calculamos
. - Calculamos
. - Atualizamos
:
Diferença:
.
Passo 5
Continuamos iterando até que a diferença entre as iterações seja menor que
. Para simplificar, mostrarei apenas a conclusão após várias iterações:
- Com
, convergimos para . - Com
, convergimos para . - Com
, convergemos para .
Resposta
A solução aproximada da equação
utilizando o Método de Newton com
e os pontos iniciais
,
e
��
.
Exercícios relacionados
Mostre que esta função possui pelo menos um zero no intervalo
.
Tome
e faça 3 iterações do Método de Newton. Analise a aproximação obtida, considerando o ponto inicial utilizado.
Encontre a solução aproximada da equação
no intervalo
utilizando o Método da Bissecção,
.
Utilize o Método da Secante para obter o valor aproximado de
, partindo dos pontos iniciais
e
, com
.