Utilize o Método de Newton para encontrar uma solução aproximada da equação e tomando três pontos iniciais diferentes: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método de Newton. Esse método é uma técnica de aproximação para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar da função e da sua derivada . O objetivo é encontrar um valor de que torne bem próximo de zero, com uma precisão de . Vamos começar com três pontos iniciais diferentes: , e .

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a função e a sua derivada . Sem conhecê-las, não conseguimos aplicar o Método de Newton. Supondo que a função seja, por exemplo, , então sua derivada seria . Vamos usar esse exemplo para ilustrar.

Passo 3

O Método de Newton funciona da seguinte maneira: a cada iteração, atualizamos o valor de usando a fórmula
Isso nos aproxima cada vez mais da raiz da função.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para cada um dos pontos iniciais.
Para :
  1. Calculamos .
  2. Calculamos .
  3. Atualizamos :
Checamos a diferença , que é maior que , então repetimos o processo.
Para :
  1. Calculamos .
  2. Calculamos .
  3. Atualizamos :
Diferença: .
Para :
  1. Calculamos .
  2. Calculamos .
  3. Atualizamos :
Diferença: .

Passo 5

Continuamos iterando até que a diferença entre as iterações seja menor que . Para simplificar, mostrarei apenas a conclusão após várias iterações:
  • Com , convergimos para .
  • Com , convergimos para .
  • Com , convergemos para .

Resposta

A solução aproximada da equação utilizando o Método de Newton com e os pontos iniciais , e �� .

Exercícios relacionados

Mostre que esta função possui pelo menos um zero no intervalo .
Tome e faça 3 iterações do Método de Newton. Analise a aproximação obtida, considerando o ponto inicial utilizado.
Encontre a solução aproximada da equação no intervalo utilizando o Método da Bissecção, .
Utilize o Método da Secante para obter o valor aproximado de , partindo dos pontos iniciais e , com .