Encontre uma solução contínua que satisfaça a equação diferencial
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente resolver uma equação diferencial da forma
com a condição inicial
. A função
é definida de forma diferente em dois intervalos: para
,
, e para
,
. Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação diferencial de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial linear da forma
, onde
e
. O método do fator integrante nos ajuda a encontrar uma solução geral.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
usando a fórmula:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação diferencial.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser integrada facilmente.
Passo 5
Percebemos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Assim, podemos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar com a condição inicial.
Passo 7
Vamos resolver a integral para os dois casos de
:
Para
,
:
Fazendo a substituição
,
, temos:
Para
,
:
Passo 8
Voltando à expressão de
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
no intervalo
:
Então, a solução para
é:
Passo 10
Precisamos garantir que a solução seja contínua em
. Calculamos
e
:
Igualando as duas:
Passo 11
Então, a solução para
é:
Simplificando, podemos escrever:
Resposta
A solução contínua que satisfaz a equação diferencial dada é:
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