Encontre uma solução contínua que satisfaça a equação diferencial d yd x+2 x y=f(x), y(0)=2 onde f(x)=lllx & se & 0 <= x<1 0 & se & x >= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente resolver uma equação diferencial da forma com a condição inicial . A função é definida de forma diferente em dois intervalos: para , , e para , . Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação diferencial de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial linear da forma , onde e . O método do fator integrante nos ajuda a encontrar uma solução geral.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 2x dx = e^x^2 usando a fórmula:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação diferencial.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^x^2 dydx + 2x e^x^2 y = e^x^2 f(x)
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser integrada facilmente.

Passo 5

Percebemos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto ddx ( e^x^2 y ) = e^x^2 f(x) :
Assim, podemos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando ambos os lados:
e^x^2 y = integral e^x^2 f(x) dx + C
Onde é a constante de integração que vamos determinar com a condição inicial.

Passo 7

Vamos resolver a integral para os dois casos de integral e^x^2 x dx :
Para 12 integral e^u du = 12 e^x^2 + C , integral 0 cdot e^x^2 dx = C :
Fazendo a substituição , , temos:
Para , :

Passo 8

Voltando à expressão de e^x^2 y = 12 e^x^2 + C implies y = 12 + C e^-x^2 :
Para e^x^2 y = C implies y = C e^-x^2 :
Para :

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial 2 = 12 + C e^0 implies C = 32 para encontrar y = 12 + 32 e^-x^2 no intervalo :
Então, a solução para é:

Passo 10

Precisamos garantir que a solução seja contínua em y(1^-) = 12 + 32 e^-1 . Calculamos y(1^+) = C e^-1 e 12 + 32 e^-1 = C e^-1 implies C = 12 e^1 + 32 :
Igualando as duas:

Passo 11

Então, a solução para y = ( 12 e^1 + 32 ) e^-x^2 é:
y = ( 12 e + 32 ) e^-x^2
Simplificando, podemos escrever:

Resposta

A solução contínua que satisfaz a equação diferencial dada é:
y(x) = 12 + 32 e^-x^2 & para 0 <= x < 1, ( 12 e + 32 ) e^-x^2 & para x >= 1

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