Encontre uma solução contínua que satisfaça a equação diferencial onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente resolver uma equação diferencial da forma com a condição inicial . A função é definida de forma diferente em dois intervalos: para , , e para , . Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação diferencial de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial linear da forma , onde e . O método do fator integrante nos ajuda a encontrar uma solução geral.

Passo 3

Calculamos o fator integrante usando a fórmula:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação diferencial.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser integrada facilmente.

Passo 5

Percebemos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Assim, podemos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração que vamos determinar com a condição inicial.

Passo 7

Vamos resolver a integral para os dois casos de :
Para , :
Fazendo a substituição , , temos:
Para , :

Passo 8

Voltando à expressão de :
Para :
Para :

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar no intervalo :
Então, a solução para é:

Passo 10

Precisamos garantir que a solução seja contínua em . Calculamos e :
Igualando as duas:

Passo 11

Então, a solução para é:
Simplificando, podemos escrever:

Resposta

A solução contínua que satisfaz a equação diferencial dada é:

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