Identifique e resolva a equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata. Para resolver, precisamos verificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Podemos escrever a equação na forma:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 4
Calculando
:
Primeiro, derivamos em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
:
Então,
Passo 5
Agora, calculamos
:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Observamos que:
Como
, a equação é exata!
Passo 7
Agora que sabemos que a equação é exata, precisamos encontrar uma função
tal que:
Vamos começar integrando
em relação a
.
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Vamos tratar cada termo separadamente.
Primeiro, :
Fazendo a substituição
, então
:
Segundo,
:
Usando integração por partes, onde
e
.
Calculando:
Então,
Somando os dois integrais:
Passo 9
Agora, diferenciando
em relação a
e igualando a
:
Mas sabemos que
. Para igualar, devemos adicionar uma função de
apenas.
Então, ajustamos
:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Portanto,
Resposta
A solução geral da equação é , onde
é uma constante.
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