Identifique e resolva a equação [sen(x y)+x y cos (x y)] d x+[1+x^2 cos (x y)] d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata. Para resolver, precisamos verificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Podemos escrever a equação na forma:
M(x, y), dx + N(x, y), dy = 0
Onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial y e partial Npartial x
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Calculando M(x, y) = sen(x y) + x y cos(x y) :
Primeiro, derivamos em relação a partialpartial y sen(x y) = x cos(x y) :
Depois, derivamos partialpartial y [x y cos(x y)] = x cos(x y) + x y (-x) sen(x y) = x cos(x y) - x^2 y sen(x y) em relação a partial Mpartial y = x cos(x y) + x cos(x y) - x^2 y sen(x y) = 2x cos(x y) - x^2 y sen(x y) :
Então,

Passo 5

Agora, calculamos N(x, y) = 1 + x^2 cos(x y) :
partialpartial x [1 + x^2 cos(x y)] = 2x cos(x y) + x^2 (-y) sen(x y) = 2x cos(x y) - x^2 y sen(x y)
Derivando em relação a :

Passo 6

Observamos que:
Como partial Mpartial y = 2x cos(x y) - x^2 y sen(x y) , a equação é exata!

Passo 7

Agora que sabemos que a equação é exata, precisamos encontrar uma função partial Phipartial x = M(x, y) e partial Phipartial y = N(x, y) tal que:
Vamos começar integrando em relação a .

Passo 8

Integrando integral [sen(x y) + x y cos(x y)], dx em relação a integral sen(u) duy = -1y cos(u) + C = -1y cos(x y) + C :
Vamos tratar cada termo separadamente.
Primeiro, :
Fazendo a substituição du = dx e v = sen(x y) , então integral x y cos(x y), dx = x sen(x y) - integral sen(x y), dx = x sen(x y) + 1y cos(x y) + C :
Segundo, Phi(x, y) = -1y cos(x y) + x sen(x y) + 1y cos(x y) + C = x sen(x y) + C :
Usando integração por partes, onde e .
Calculando:
Então,
Somando os dois integrais:

Passo 9

Agora, diferenciando partial Phipartial y = x cos(x y) + 0 = x cos(x y) em relação a Phi(x, y) = x sen(x y) + integral 1, dy = x sen(x y) + y + C e igualando a :
Mas sabemos que . Para igualar, devemos adicionar uma função de apenas.
Então, ajustamos :

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Phi(x, y) = constante
Portanto,

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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