Identifique e resolva a equação

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata. Para resolver, precisamos verificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Podemos escrever a equação na forma:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Calculando :
Primeiro, derivamos em relação a :
Depois, derivamos em relação a :
Então,

Passo 5

Agora, calculamos :
Derivando em relação a :

Passo 6

Observamos que:
Como , a equação é exata!

Passo 7

Agora que sabemos que a equação é exata, precisamos encontrar uma função tal que:
Vamos começar integrando em relação a .

Passo 8

Integrando em relação a :
Vamos tratar cada termo separadamente.
Primeiro, :
Fazendo a substituição , então :
Segundo, :
Usando integração por partes, onde e .
Calculando:
Então,
Somando os dois integrais:

Passo 9

Agora, diferenciando em relação a e igualando a :
Mas sabemos que . Para igualar, devemos adicionar uma função de apenas.
Então, ajustamos :

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Portanto,

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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