Identifique e resolva a equação

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A equação dada é . Essa é uma equação diferencial que envolve e . O conteúdo principal aqui é a Equação de Bernoulli, que é um tipo especial de equação diferencial que podemos resolver com uma substituição inteligente. Vamos precisar conhecer um pouco sobre como manipular equações lineares e aplicar substituições para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma de Bernoulli: . No nosso caso, , e . Para resolver esse tipo de equação, usamos uma substituição que transforma a equação não linear em uma linear.

Passo 3

A substituição que vamos usar é . Como , temos . Vamos derivar isso em relação a :
Agora, substituímos da equação original:
Substituindo na derivada de :
Então, a equação em termos de fica:

Passo 4

Agora temos uma equação linear em :
Aqui, e . Para resolver, vamos usar o fator integrante, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Multiplicando por :

Passo 5

Lembrando que fizemos a substituição , voltamos para :
Invertendo ambos os lados para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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Resolva a equação dada encontrando uma fator integrante apropriado.
Verifique se é solução . Determine ao menos um intervalo de existência.
Encontre uma solução contínua que satisfaça a equação diferencial onde
Identifique e resolva a equação