Identifique e resolva a equação
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A equação dada é
. Essa é uma equação diferencial que envolve
e
. O conteúdo principal aqui é a Equação de Bernoulli, que é um tipo especial de equação diferencial que podemos resolver com uma substituição inteligente. Vamos precisar conhecer um pouco sobre como manipular equações lineares e aplicar substituições para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma de Bernoulli:
. No nosso caso,
,
e
. Para resolver esse tipo de equação, usamos uma substituição que transforma a equação não linear em uma linear.
Passo 3
A substituição que vamos usar é
. Como
, temos
. Vamos derivar isso em relação a
:
Agora, substituímos
da equação original:
Substituindo na derivada de
:
Então, a equação em termos de
fica:
Passo 4
Agora temos uma equação linear em
:
Aqui,
e
. Para resolver, vamos usar o fator integrante, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Multiplicando por
:
Passo 5
Lembrando que fizemos a substituição
, voltamos para
:
Invertendo ambos os lados para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Resolva a equação dada encontrando uma fator integrante apropriado.
Verifique se
é solução
. Determine ao menos um intervalo de existência.
Encontre uma solução contínua que satisfaça a equação diferencial
onde
Identifique e resolva a equação