Identifique e resolva a equação d yd x+yx=x^3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A equação dada é . Essa é uma equação diferencial que envolve e . O conteúdo principal aqui é a Equação de Bernoulli, que é um tipo especial de equação diferencial que podemos resolver com uma substituição inteligente. Vamos precisar conhecer um pouco sobre como manipular equações lineares e aplicar substituições para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma de Bernoulli: . No nosso caso, , e . Para resolver esse tipo de equação, usamos uma substituição que transforma a equação não linear em uma linear.

Passo 3

A substituição que vamos usar é dvdx = -y^-2 dydx . Como dydx = x^3 y^2 - yx , temos dvdx = -y^-2 ( x^3 y^2 - yx ) = -x^3 + 1x y^-1 = -x^3 + vx . Vamos derivar isso em relação a dvdx - vx = -x^3 :
Agora, substituímos da equação original:
Substituindo na derivada de :
Então, a equação em termos de fica:

Passo 4

Agora temos uma equação linear em dvdx + P(x)v = Q(x) :
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -1x dx = e^-ln|x| = 1x
Aqui, 1x dvdx - vx^2 = -x^2 e ddx ( vx ) = -x^2 . Para resolver, vamos usar o fator integrante, que é dado por:
vx = -x^33 + C
Multiplicamos toda a equação por v = -x^43 + Cx :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Multiplicando por :

Passo 5

Lembrando que fizemos a substituição y^-1 = -x^43 + Cx , voltamos para y = 1Cx - x^43 :
Invertendo ambos os lados para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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