Identifique e resolva a equação
Passo 1
Vamos lá! Você me pediu para identificar e resolver a equação diferencial
. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação. Se não for exata, talvez precisemos encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
. Vamos chamar:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que aparece na integração.
Passo 6
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo
na expressão de
:
A solução geral da equação diferencial exata é dada por
.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante.