Identifique e resolva a equação (x^2-2 y^-3) d y+(2 x y-3 x^2) d x=0

Passo 1

Vamos lá! Você me pediu para identificar e resolver a equação diferencial (x^2-2 y^-3) dy + (2 x y-3 x^2) dx = 0. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação. Se não for exata, talvez precisemos encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam dy e dx. Vamos chamar:
M(x, y) = x^2 - 2 y^-3
N(x, y) = 2 x y - 3 x^2
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a x e de N em relação a y.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial x = partialpartial x (x^2 - 2 y^-3) = 2x
partial Npartial y = partialpartial y (2 x y - 3 x^2) = 2x
Como partial Mpartial x = partial Npartial y, a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, existe uma função potencial Φ(x, y) tal que:
partial Φpartial x = N(x, y) = 2 x y - 3 x^2
partial Φpartial y = M(x, y) = x^2 - 2 y^-3
Vamos integrar N em relação a x para encontrar Φ(x, y).

Passo 5

Integrando N em relação a x:
Φ(x, y) = integral (2 x y - 3 x^2) dx = y x^2 - x^3 + h(y)
Aqui, h(y) é uma função arbitrária de y que aparece na integração.

Passo 6

Para encontrar h(y), derivamos Φ(x, y) em relação a y e igualamos a M(x, y):
partial Φpartial y = x^2 + h'(y) = x^2 - 2 y^-3
Então:
h'(y) = -2 y^-3
Integrando h'(y) em relação a y:
h(y) = integral -2 y^-3 dy = y^-2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo h(y) na expressão de Φ(x, y):
Φ(x, y) = y x^2 - x^3 + y^-2 + C
A solução geral da equação diferencial exata é dada por Φ(x, y) = constante.

Resposta

A solução geral da equação é:
y x^2 - x^3 + y^-2 = C
onde C é uma constante.

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