Resolva a equação dada encontrando uma fator integrante apropriado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante adequado para torná-la exata e assim facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham e . Chamamos:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, vamos procurar um fator integrante. Geralmente, buscamos um fator que dependa somente de ou somente de . Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa de , ou seja, .

Passo 5

Para encontrar , usamos a seguinte relação:
Como essa expressão depende apenas de , podemos integrar para encontrar :

Passo 6

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a multiplicado por :
Assim, , integrando:
Portanto, a função é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Verifique se é solução . Determine ao menos um intervalo de existência.
Identifique e resolva a equação
Encontre uma solução contínua que satisfaça a equação diferencial onde