Resolva a equação dada encontrando uma fator integrante apropriado. (2 x^2+y) d x+(x^2 y-x) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
(2 x^2 + y) dx + (x^2 y - x) dy = 0
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante adequado para torná-la exata e assim facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham M(x, y) = 2x^2 + y e N(x, y) = x^2 y - x . Chamamos:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y (2x^2 + y) = 1
partial Npartial x = partialpartial x (x^2 y - x) = 2xy - 1
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, vamos procurar um fator integrante. Geralmente, buscamos um fator que dependa somente de ou somente de . Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa de , ou seja, .

Passo 5

Para encontrar partial Mpartial y - partial Npartial x N = 1 - (2xy - 1)x^2 y - x = 2(1 - xy)x(xy - 1) = -2x , usamos a seguinte relação:
mu(x) = e^integral -2x dx = e^-2 ln x = x^-2
Como essa expressão depende apenas de , podemos integrar para encontrar :

Passo 6

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante x^-2(2x^2 + y) dx + x^-2(x^2 y - x) dy = 0 :
(2 + x^-2 y) dx + (y - x^-1) dy = 0
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função partial Phipartial x = 2 + x^-2 y tal que:
Phi(x, y) = 2x - x^-1 y + h(y)
Integrando em relação a partial Phipartial y = -x^-1 + h'(y) = y - x^-1 :
h(y) = y^22 + C
Agora, derivamos Phi(x, y) = 2x - yx + y^22 = constante em relação a e igualamos a multiplicado por :
Assim, , integrando:
Portanto, a função é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
2x - yx + y^22 = C
onde é uma constante real.

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