Resolva a equação dada encontrando uma fator integrante apropriado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante adequado para torná-la exata e assim facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham
e
. Chamamos:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, vamos procurar um fator integrante. Geralmente, buscamos um fator que dependa somente de
ou somente de
. Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa de
, ou seja,
.
Passo 5
Para encontrar
, usamos a seguinte relação:
Como essa expressão depende apenas de
, podemos integrar para encontrar
:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 7
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
multiplicado por
:
Assim,
, integrando:
Portanto, a função
é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Verifique se
é solução
. Determine ao menos um intervalo de existência.
Identifique e resolva a equação
Encontre uma solução contínua que satisfaça a equação diferencial
onde