Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
h) [rrr-1 & 1 & -1 1 & 2 & 4 3 & 1 & 2][lx y z]=[r5 4 -3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares representado por uma matriz. A ideia é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma explicita a partir da matriz dada:
-1x + 1y - 1z = 5 1x + 2y + 4z = 4 3x + 1y + 2z = -3

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essas equações em uma forma mais simples, onde possamos facilmente encontrar os valores de Equação 1: & -x + y - z = 5 Equação 2: & x + 2y + 4z = 4 , (-x + x) + (y + 2y) + (-z + 4z) = 5 + 4 0x + 3y + 3z = 9 Rightarrow 3y + 3z = 9 e y + z = 3 (Equação 4) . Vamos começar eliminando uma das variáveis de duas equações.
Vamos eliminar das equações 1 e 2. Para isso, multiplicamos a equação 1 por 1 e a equação 2 por 1 e então subtraímos:
çãçã
Somando as duas equações:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar 3x + y + 2z = -3 das equações 1 e 3. A equação 3 é:
-3x + 3y - 3z = 15
Multiplicamos a equação 1 por 3:
(-3x + 3x) + (3y + y) + (-3z + 2z) = 15 + (-3) 0x + 4y - z = 12 (Equação 5)
Agora, somamos com a equação 3:
çã

Passo 5

Agora temos duas equações com y + z = 3 (Equação 4) 4y - z = 12 (Equação 5) e (y + 4y) + (z - z) = 3 + 12 5y = 15 Rightarrow y = 3 :
çãçã
Vamos somar as duas equações para eliminar :

Passo 6

Com 3 + z = 3 Rightarrow z = 0 , vamos substituir na Equação 4 para encontrar :

Passo 7

Agora que temos - x + 3 - 0 = 5 Rightarrow -x + 3 = 5 Rightarrow -x = 5 - 3 Rightarrow -x = 2 Rightarrow x = -2 e , vamos substituir esses valores na Equação 1 para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = -2, y = 3, z = 0

Exercícios relacionados