Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você me passou. O sistema é composto por três equações com três incógnitas: , e . Para resolver, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar o sistema até encontrar os valores das incógnitas. Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez e chegar à solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma explícita:
Aqui, a terceira equação simplificou-se porque a terceira linha da matriz original tinha zero na posição de .
Passo 3
Vamos simplificar a terceira equação para facilitar os cálculos. A fração pode ser reduzida dividindo o numerador e o denominador por 3:
Então, a terceira equação fica:
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação para expressar em termos de . A segunda equação é:
Isolando :
Passo 5
Com expresso em termos de , vamos substituir esse valor na terceira equação para encontrar . A terceira equação é:
Substituindo :
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Simplificando dividindo por 6:
Passo 6
Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( e ):
Mas lembrando que já expressamos em termos de . Vamos usar a segunda equação acima para isolar :
Passo 7
Vamos substituir esse valor de na primeira equação:
Simplificando:
Isolando :
Passo 8
Agora, vamos substituir e na expressão que encontramos para :
Passo 9
Agora, vamos retornar à expressão que encontramos para em termos de :
Substituindo :
Multiplicando ambos os lados por 4:
Passo 10
Com o valor de encontrado, vamos substituir de volta para achar e .