Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você me passou. O sistema é composto por três equações com três incógnitas: , e . Para resolver, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar o sistema até encontrar os valores das incógnitas. Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez e chegar à solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma explícita:
3x - 2y + z = 2 -4y + 3z = -2 3x + 2y = 3615
Aqui, a terceira equação simplificou-se porque a terceira linha da matriz original tinha zero na posição de .
Passo 3
Vamos simplificar a terceira equação para facilitar os cálculos. A fração 3615 = 125 pode ser reduzida dividindo o numerador e o denominador por 3:
3x + 2y = 125
Então, a terceira equação fica:
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação para expressar -4y + 3z = -2 em termos de -4y = -2 - 3z y = 2 + 3z4 . A segunda equação é:
Isolando :
Passo 5
Com 3x + 2y = 125 expresso em termos de 3x + 2(2 + 3z4) = 125 3x + 4 + 6z4 = 125 , vamos substituir esse valor na terceira equação para encontrar 12x + 4 + 6z = 485 . A terceira equação é:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Simplificando dividindo por 6:
Passo 6
Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( 3x - 2y + z = 2 2x + z = 1415 e z = 1415 - 2x ):
Mas lembrando que já expressamos em termos de . Vamos usar a segunda equação acima para isolar :
Passo 7
Vamos substituir esse valor de 3x - 2y + (1415 - 2x) = 2 na primeira equação:
3x - 2y + 1415 - 2x = 2 x - 2y + 1415 = 2
Simplificando:
x = 2 + 2y - 1415 x = 3015 + 30y15 - 1415 x = 1615 + 2y
Isolando :
Passo 8
Agora, vamos substituir z = 1415 - 2x z = 1415 - 2(1615 + 2y) z = 1415 - 3215 - 4y z = -1815 - 4y z = -65 - 4y e na expressão que encontramos para :
Passo 9
Agora, vamos retornar à expressão que encontramos para y = 2 + 3z4 em termos de y = 2 + 3(-65 - 4y)4 y = 2 - 185 - 12y4 y = 105 - 185 - 12y4 y = -85 - 12y4 :
4y = -85 - 12y 4y + 12y = -85 16y = -85 y = -85 times 16 y = -880 y = -110
Substituindo :
Multiplicando ambos os lados por 4:
Passo 10
Com o valor de x = 1615 + 2y x = 1615 + 2(-110) x = 1615 - 210 x = 1615 - 315 x = 1315 encontrado, vamos substituir de volta para achar z = -65 - 4y z = -65 - 4(-110) z = -65 + 410 z = -65 + 25 z = -45 e .