Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares. O que a gente tem aqui é um sistema 3x3 representado por uma matriz. A matéria que vamos usar é Álgebra Linear, especificamente o método de eliminação de Gauss para resolver sistemas lineares. Para isso, vamos precisar manipular as linhas da matriz para chegar a uma forma onde seja fácil encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma clara:
x + y + z = 6 x - y - z = -4 2x - y + z = 1
Passo 3
Vamos começar eliminando uma das variáveis. Vou escolher eliminar (x - y - z) - (x + y + z) = -4 - 6 x - y - z - x - y - z = -10 -2y - 2z = -10 das segunda e terceira equações. Para fazer isso, subtraímos a primeira equação da segunda e multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da terceira.
Subtraindo a primeira da segunda:
y + z = 5 (Equação 4)
Dividindo tudo por -2:
çã
Passo 4
Agora, vamos eliminar 2(x + y + z) = 2 times 6 2x + 2y + 2z = 12 da terceira equação. Multiplicamos a primeira equação por 2:
(2x - y + z) - (2x + 2y + 2z) = 1 - 12 2x - y + z - 2x - 2y - 2z = -11 -3y - z = -11 (Equação 5)
Subtraímos essa nova equação da terceira original:
çã
Passo 5
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
y + z = 5 (Equação 4) -3y - z = -11 (Equação 5) çãçã
Vamos somar as duas equações para eliminar (y + z) + (-3y - z) = 5 + (-11) -2y = -6 :
y = 3
Dividindo por -2:
Passo 6
Agora que sabemos que 3 + z = 5 z = 5 - 3 z = 2 , vamos substituir esse valor na Equação 4 para encontrar :
Passo 7
Com x + 3 + 2 = 6 x + 5 = 6 x = 6 - 5 x = 1 e , vamos substituir esses valores na primeira equação original para encontrar :