Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
g) [rrr-1 & 1 & -1 1 & 2 & 4 3 & 1 & -2][lx y z]=[r5 4 -3]

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis: -1 & 1 & -1 1 & 2 & 4 3 & 1 & -2 x y z = 5 4 -3 , e . O sistema é representado pela matriz:

[


]
Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar as equações passo a passo até encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
-1x + 1y - 1z = 5 1x + 2y + 4z = 4 3x + 1y - 2z = -3
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis das duas últimas equações para facilitar a resolução. Vamos começar eliminando .

Passo 3

Para eliminar -1x + 1y - 1z = 5 das equações 2 e 3, podemos multiplicar a equação 1 por 1 e somar com a equação 2, e multiplicar a equação 1 por 3 e somar com a equação 3.
Primeiro, multiplicamos a equação 1 por 1:
( -1x + 1x ) + (1y + 2y) + (-1z + 4z) = 5 + 4
E somamos com a equação 2:
0x + 3y + 3z = 9
Isso resulta em:
3y + 3z = 9 (Equação 4)
Ou seja:
çã

Passo 4

Agora, multiplicamos a equação 1 por 3:
-3x + 3y - 3z = 15
E somamos com a equação 3:
(-3x + 3x) + (3y + 1y) + (-3z - 2z) = 15 + (-3)
Isso resulta em:
0x + 4y - 5z = 12
Ou seja:
4y - 5z = 12 (Equação 5) çã

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas variáveis:
3y + 3z = 9 (Equação 4) 4y - 5z = 12 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Primeiro, vamos simplificar a Equação 4 dividindo todos os termos por 3:
y + z = 3 (Equação 6) çã
Agora, podemos expressar y = 3 - z em termos de :

Passo 7

Vamos substituir 4(3 - z) - 5z = 12 na Equação 5:
12 - 4z - 5z = 12
Distribuindo o 4:
12 - 9z = 12
Combinando os termos de :

Passo 8

Subtraindo 12 de ambos os lados:
-9z = 0
Dividindo por -9:
z = 0

Passo 9

Agora que sabemos que y + 0 = 3 y = 3 , vamos substituir esse valor na Equação 6 para encontrar :

Passo 10

Com -1x + 1(3) - 1(0) = 5 -1x + 3 = 5 e -1x = 2 x = -2 , vamos substituir esses valores na Equação 1 original para encontrar :
Subtraindo 3 de ambos os lados:

Resposta

A solução do sistema é:
x = -2, y = 3, z = 0

Exercícios relacionados