Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
d) [rrr2 & 4 & -1 -1 & -3 & -2 3 & -1 & 4][lx y z]=[r2 4 -3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares aqui. O que temos é uma matriz de coeficientes multiplicada pelo vetor x y z igual a um vetor de resultados. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss para simplificar o sistema e encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
2x + 4y - z = 2 - x - 3y - 2z = 4 3x - y + 4z = -3
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 3

Vamos usar a eliminação de Gauss, que é um método para simplificar o sistema de equações eliminando variáveis uma a uma. Começaremos eliminando das segunda e terceira equações.

Passo 4

Primeiro, mantemos a primeira equação como está:
2x + 4y - z = 2 (Equação 1) çã
Agora, vamos multiplicar a Equação 1 por x + 2y - 12z = 1 (Equação 1a) para facilitar a eliminação:
çã

Passo 5

Agora, substituímos - x - 3y - 2z = 4 da segunda e terceira equações usando a Equação 1a.
Para a Equação 2:
- (1 - 2y + 12z) - 3y - 2z = 4
Substituindo -1 + 2y - 12z - 3y - 2z = 4 -1 - y - 52z = 4 -y - 52z = 5 (Equação 2a) :
Simplificando:
çã

Passo 6

Fazemos o mesmo para a Equação 3:
3x - y + 4z = -3
Substituindo 3(1 - 2y + 12z) - y + 4z = -3 :
3 - 6y + 32z - y + 4z = -3 -7y + 112z = -6 (Equação 3a)
Simplificando:
çã

Passo 7

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
- y - 52z = 5 (Equação 2a) -7y + 112z = -6 (Equação 3a) çãçã
Vamos resolver essas equações para encontrar e .

Passo 8

Vamos multiplicar a Equação 2a por 2 para eliminar os denominadores:
-2y - 5z = 10 (Equação 2b) çã
E a Equação 3a por 2 também:
-14y + 11z = -12 (Equação 3b) çã

Passo 9

Agora, temos:
-2y - 5z = 10 -14y + 11z = -12
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 2b por 7 para facilitar a eliminação de -14y - 35z = 70 (Equação 2c) :
(-14y - 35z) - (-14y + 11z) = 70 - (-12) -14y - 35z + 14y - 11z = 82 -46z = 82 z = -8246 = -4123 approx -1.7826 çã
Agora, subtraímos a Equação 3b da Equação 2c:

Passo 10

Com o valor de -2y - 5z = 10 -2y - 5(-4123) = 10 -2y + 20523 = 10 -2y = 10 - 20523 -2y = 23023 - 20523 -2y = 2523 y = -2546 approx -0.5435 encontrado, substituímos de volta na Equação 2b para encontrar :

Passo 11

Agora que temos x + 2y - 12z = 1 x + 2(-2546) - 12(-4123) = 1 x - 5046 + 4146 = 1 x - 946 = 1 x = 1 + 946 x = 4646 + 946 x = 5546 approx 1.1957 e , substituímos esses valores na Equação 1a para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 5546 approx 1.196, y = -2546 approx -0.544, z = -4123 approx -1.783

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