Seja
, qual é o valor aproximado da raiz encontrado pelo método de Newton na quarta iteração (
)? Qual o erro relativo da resposta? Para os cálculos use a condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
e queremos encontrar uma raiz dela usando o Método de Newton. Esse método é uma técnica para aproximar raízes de funções, que usa a derivada da função para melhorar as estimativas passo a passo. Vamos precisar calcular
e sua derivada
em cada iteração, começando com a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função em qualquer ponto, o que é essencial para o Método de Newton. Então, derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método de Newton usando a fórmula:
Vamos começar com
.
Iteração 1 (
):
Calculamos
Calculamos
Calculamos
Então,
Passo 4
Iteração 2 (
):
Calculamos
Aproximadamente,
Calculamos
Aproximadamente,
Calculamos
Então,
Passo 5
Iteração 3 (
):
Calculamos
Calculamos
Calculamos
Então,
Passo 6
Iteração 4 (
):
Calculamos
Calculamos
Calculamos
Então,
Resposta
Após quatro iterações do Método de Newton, a raiz aproximada é
. O erro relativo da resposta é aproximadamente
.