Seja f(x)=x^5-8 x^4+9 x^3+48 x^2-70 x-100, qual é o valor aproximado da raiz encontrado pelo método de Newton na quarta iteração ( barx4 )? Qual o erro relativo da resposta? Para os cálculos use a condição inicial x0=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e queremos encontrar uma raiz dela usando o Método de Newton. Esse método é uma técnica para aproximar raízes de funções, que usa a derivada da função para melhorar as estimativas passo a passo. Vamos precisar calcular e sua derivada em cada iteração, começando com a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f'(x) = 5x^4 - 32x^3 + 27x^2 + 96x -70 . A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função em qualquer ponto, o que é essencial para o Método de Newton. Então, derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método de Newton usando a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos começar com x1 = 0 - -100-70 = 0 - 10070 approx -1.4286 .
Iteração 1 ( ):
Calculamos
Calculamos
Então,

Passo 4

Iteração 2 ( x2 = -1.4286 - -1.4286-70 approx -1.4286 - 0.0204 = -1.4490 ):
Calculamos
Aproximadamente,
Calculamos
Então,

Passo 5

Iteração 3 ( x3 = -1.4490 - -1.4490-70 approx -1.4490 - 0.0207 = -1.4697 ):
Calculamos
Calculamos
Então,

Passo 6

Iteração 4 ( x4 = -1.4697 - -1.4697-70 approx -1.4697 - 0.0210 = -1.4907 ):
Calculamos
Calculamos
Então,

Resposta

Após quatro iterações do Método de Newton, a raiz aproximada é . O erro relativo da resposta é aproximadamente .

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