Encontre a solução dos sistemas lineares usando o método da fatoração LU.
а)

Passo 1

Neste exercício, vamos resolver um sistema de equações lineares usando o método da fatoração LU. O sistema dado é:
Para resolver isso, vamos decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: (triangular inferior) e (triangular superior), de forma que . Depois, resolvemos para encontrar e, em seguida, para encontrar as variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, identificamos a matriz dos coeficientes e o vetor :
Queremos encontrar matrizes e tais que , onde contém os coeficientes da parte inferior e da parte superior da matriz.

Passo 3

Começamos a fatoração LU. A primeira linha de será igual à primeira linha de :
Precisamos encontrar os valores de e .

Passo 4

Calculamos . Agora, subtraímos 2 vezes a primeira linha de da segunda linha para atualizar :
Da mesma forma, calculamos e adicionamos a primeira linha à terceira linha de :

Passo 5

Agora, temos:
Precisamos encontrar . Calculamos . Subtraímos vez a segunda linha de da terceira linha:

Passo 6

Agora que temos e , vamos resolver :
Primeiro, de . Substituímos esse valor na segunda equação:

Passo 7

Agora, substituímos e na terceira equação:
Então, o vetor é:

Passo 8

Agora, resolvemos :
Começamos pela última equação:
Substituímos na segunda equação:
Agora, substituímos e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:

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Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
g)
Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
d)
Seja , qual é o valor aproximado da raiz encontrado pelo método de Newton na quarta iteração ( )? Qual o erro relativo da resposta? Para os cálculos use a condição inicial .
Seja , qual é o valor aproximado da raiz encontrado pelo método da Bissecção na quarta iteração ( )? Para os cálculos use o intervalo .