Encontre a solução dos sistemas lineares usando o método da fatoração LU.
а) [rrr1 & 2 & 3 2 & 5 & 9 -1 & -1 & 1][lx y z]=[r18 53 4]

Passo 1

Neste exercício, vamos resolver um sistema de equações lineares usando o método da fatoração LU. O sistema dado é:
1x + 2y + 3z = 18 2x + 5y + 9z = 53 -1x - 1y + 1z = 4
Para resolver isso, vamos decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: (triangular inferior) e (triangular superior), de forma que . Depois, resolvemos para encontrar e, em seguida, para encontrar as variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, identificamos a matriz dos coeficientes A = 1 & 2 & 3 2 & 5 & 9 -1 & -1 & 1 , b = 18 53 4 e o vetor :
Queremos encontrar matrizes e tais que , onde contém os coeficientes da parte inferior e da parte superior da matriz.

Passo 3

Começamos a fatoração LU. A primeira linha de U = 1 & 2 & 3 * & * & * * & * & * , L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 será igual à primeira linha de :
Precisamos encontrar os valores de e .

Passo 4

Calculamos ccc|c 1 & 2 & 3 & 18 0 & 1 & 3 & 17 -1 & -1 & 1 & 4 . Agora, subtraímos 2 vezes a primeira linha de ccc|c 1 & 2 & 3 & 18 0 & 1 & 3 & 17 0 & 1 & 4 & 22 da segunda linha para atualizar :
Da mesma forma, calculamos e adicionamos a primeira linha à terceira linha de :

Passo 5

Agora, temos:
U = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 3 0 & 1 & 4 , L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -1 & * & 1
Precisamos encontrar U = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 , L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 . Calculamos . Subtraímos vez a segunda linha de da terceira linha:

Passo 6

Agora que temos 1y1 = 18 2y1 + 1y2 = 53 -1y1 + 1y2 + 1y3 = 4 e 2(18) + y2 = 53 36 + y2 = 53 y2 = 53 - 36 y2 = 17 , vamos resolver :
Primeiro, de . Substituímos esse valor na segunda equação:

Passo 7

Agora, substituímos -18 + 17 + y3 = 4 -1 + y3 = 4 y3 = 4 + 1 y3 = 5 e y = 18 17 5 na terceira equação:
Então, o vetor é:

Passo 8

Agora, resolvemos 1x + 2y + 3z = 18 0x + 1y + 3z = 17 0x + 0y + 1z = 5 :
z = 5
Começamos pela última equação:
y + 3(5) = 17 y + 15 = 17 y = 17 - 15 y = 2
Substituímos x + 2(2) + 3(5) = 18 x + 4 + 15 = 18 x + 19 = 18 x = 18 - 19 x = -1 na segunda equação:
Agora, substituímos e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x = -1, y = 2, z = 5

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