Encontre a solução dos sistemas lineares usando o método da fatoração LU.
а)
Passo 1
Neste exercício, vamos resolver um sistema de equações lineares usando o método da fatoração LU. O sistema dado é:
Para resolver isso, vamos decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: (triangular inferior) e (triangular superior), de forma que . Depois, resolvemos para encontrar e, em seguida, para encontrar as variáveis , e .
Passo 2
Primeiro, identificamos a matriz dos coeficientes e o vetor :
Queremos encontrar matrizes e tais que , onde contém os coeficientes da parte inferior e da parte superior da matriz.
Passo 3
Começamos a fatoração LU. A primeira linha de será igual à primeira linha de :
Precisamos encontrar os valores de e .
Passo 4
Calculamos . Agora, subtraímos 2 vezes a primeira linha de da segunda linha para atualizar :
Da mesma forma, calculamos e adicionamos a primeira linha à terceira linha de :
Passo 5
Agora, temos:
Precisamos encontrar . Calculamos . Subtraímos vez a segunda linha de da terceira linha:
Passo 6
Agora que temos e , vamos resolver :
Primeiro, de . Substituímos esse valor na segunda equação: