Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
b)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas (, , e ). A ideia é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações que estão representadas na forma matricial:
O próximo passo é eliminar uma das incógnitas das equações para facilitar a resolução. Vamos começar eliminando o E1: x + y + z = 6 E2: 2x + y - z = 1 E3: 3x - y + z = 4 . Para isso, vamos manipular as equações para que possamos subtrair uma da outra e eliminar o .
Vamos chamar as equações de , e :
Passo 4
Multiplicamos 2E1: 2x + 2y + 2z = 12 por 2 para facilitar a eliminação do (2E1) - E2: (2x + 2y + 2z) - (2x + y - z) = 12 - 1 Rightarrow y + 3z = 11 (vamos chamar essa de (E4)) entre e :
Agora subtraímos de :
Passo 5
Agora, fazemos algo semelhante para eliminar o 3E1: 3x + 3y + 3z = 18 entre (3E1) - E3: (3x + 3y + 3z) - (3x - y + z) = 18 - 4 Rightarrow 4y + 2z = 14 (vamos chamar essa de (E5)) e . Multiplicamos por 3:
Subtraímos de :
Passo 6
Agora temos um sistema menor com duas equações ( E4: y + 3z = 11 E5: 4y + 2z = 14 e 4E4: 4y + 12z = 44 ) e duas incógnitas ( 4E4 - E5: (4y + 12z) - (4y + 2z) = 44 - 14 Rightarrow 10z = 30 Rightarrow z = 3 e ):
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, eliminar o . Para isso, multiplicamos por 4:
Agora, subtraímos de :
Passo 7
Com o valor de y + 3(3) = 11 Rightarrow y + 9 = 11 Rightarrow y = 2 encontrado, podemos substituir na equação para encontrar o :
Passo 8
Agora que temos x + 2 + 3 = 6 Rightarrow x + 5 = 6 Rightarrow x = 1 e , vamos substituir esses valores na equação para encontrar o :