Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
а) [rrr5 & 1 & 1 1 & -5 & 2 2 & 1 & 4][lx y z]=[r1 0 -2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você mandou. O que temos aqui é um sistema de três equações com três incógnitas , e . Para resolver isso, vamos usar a método da matriz inversa, que é uma técnica da álgebra linear para encontrar as soluções de sistemas lineares. Vamos precisar calcular a inversa da matriz dos coeficientes e multiplicá-la pelo vetor dos termos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes A = 5 & 1 & 1 1 & -5 & 2 2 & 1 & 4 , B = 1 0 -2 e o vetor dos termos independentes :

Passo 3

Para encontrar a solução, precisamos calcular a matriz inversa de , denotada por . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 envolve o cálculo do determinante e da matriz adjunta. Vamos primeiro calcular o determinante de .

Passo 4

O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Para nossa matriz a = 5, b = 1, c = 1 d = 1, e = -5, f = 2 g = 2, h = 1, i = 4 :
det(A) = 5((-5)(4) - (2)(1)) - 1((1)(4) - (2)(2)) + 1((1)(1) - (-5)(2))
Calculando:
det(A) = 5(-20 - 2) - 1(4 - 4) + 1(1 + 10)
det(A) = 5(-22) - 1(0) + 1(11) = -110 + 0 + 11 = -99

Passo 5

Agora que temos o determinante, podemos prosseguir para encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) . A inversa de é dada por:
Onde é a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores.

Passo 6

Vamos calcular a matriz dos cofatores de Cof(A) = C11 & C12 & C13 C21 & C22 & C23 C31 & C32 & C33 :
C11 = (-1)^1+1 cdot det -5 & 2 1 & 4 = 1 cdot (-5 cdot 4 - 2 cdot 1) = -22
Onde cada cofator C12 = (-1)^1+2 cdot det 1 & 2 2 & 4 = -1 cdot (1 cdot 4 - 2 cdot 2) = 0 é calculado como C13 = (-1)^1+3 cdot det 1 & -5 2 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - (-5) cdot 2) = 11 vezes o determinante da menor matriz obtida removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Calculando cada cofator:
C21 = (-1)^2+1 cdot det 1 & 1 1 & 4 = -1 cdot (1 cdot 4 - 1 cdot 1) = -3
C22 = (-1)^2+2 cdot det 5 & 1 2 & 4 = 1 cdot (5 cdot 4 - 1 cdot 2) = 18
C23 = (-1)^2+3 cdot det 5 & 1 2 & 1 = -1 cdot (5 cdot 1 - 1 cdot 2) = -3
C31 = (-1)^3+1 cdot det 1 & 1 -5 & 2 = 1 cdot (1 cdot 2 - 1 cdot (-5)) = 7
C32 = (-1)^3+2 cdot det 5 & 1 1 & 2 = -1 cdot (5 cdot 2 - 1 cdot 1) = -9
C33 = (-1)^3+3 cdot det 5 & 1 1 & -5 = 1 cdot (5 cdot (-5) - 1 cdot 1) = -26
Cof(A) = -22 & 0 & 11 -3 & 18 & -3 7 & -9 & -26
Então,

Passo 7

Agora, a matriz adjunta adj(A) = -22 & -3 & 7 0 & 18 & -9 11 & -3 & -26 é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 8

Com a adjunta calculada, podemos encontrar a inversa de A^-1 = 1-99 cdot -22 & -3 & 7 0 & 18 & -9 11 & -3 & -26 = 2299 & 399 & -799 0 & -1899 & 999 -1199 & 399 & 2699 :
A^-1 = 29 & 133 & -799 0 & -211 & 111 -19 & 133 & 2699
Simplificando as frações:

Passo 9

Agora que temos x y z, podemos encontrar o vetor solução x y z = A^-1 cdot B = 29 & 133 & -799 0 & -211 & 111 -19 & 133 & 2699 cdot 1 0 -2 multiplicando pelo vetor :

Passo 10

Fazendo a multiplicação:
x = 29(1) + 133(0) + -799(-2) = 29 + 0 + 1499 = 2299 + 1499 = 3699 = 411
y = 0(1) + -211(0) + 111(-2) = 0 + 0 - 211 = -211
z = -19(1) + 133(0) + 2699(-2) = -19 + 0 - 5299 = -1199 - 5299 = -6399 = -711

Resposta

A solução do sistema é:
x = 411, y = -211, z = -711

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