Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
а)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você mandou. O que temos aqui é um sistema de três equações com três incógnitas , e . Para resolver isso, vamos usar a método da matriz inversa, que é uma técnica da álgebra linear para encontrar as soluções de sistemas lineares. Vamos precisar calcular a inversa da matriz dos coeficientes e multiplicá-la pelo vetor dos termos independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes :
Passo 3
Para encontrar a solução, precisamos calcular a matriz inversa de , denotada por . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 envolve o cálculo do determinante e da matriz adjunta. Vamos primeiro calcular o determinante de .
Passo 4
O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
Para nossa matriz :
Calculando:
Passo 5
Agora que temos o determinante, podemos prosseguir para encontrar a inversa de . A inversa de é dada por:
Onde é a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores.
Passo 6
Vamos calcular a matriz dos cofatores de :
Onde cada cofator é calculado como vezes o determinante da menor matriz obtida removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Calculando cada cofator:
Então,
Passo 7
Agora, a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Passo 8
Com a adjunta calculada, podemos encontrar a inversa de :
Simplificando as frações:
Passo 9
Agora que temos , podemos encontrar o vetor solução multiplicando pelo vetor :