Encontre a solução dos sistemas lineares usando o método Gauss Seidel até a terceira iteração, qual o erro relativo da resposta?
а)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel até a terceira iteração e calcular o erro relativo da resposta.
O que é? Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde cada uma é uma linha que relaciona variáveis de primeira potência. O método de Gauss-Seidel é uma técnica iterativa usada para encontrar soluções aproximadas para esses sistemas.
O que precisamos? Precisamos do sistema de equações, de uma estimativa inicial para as variáveis (aqui, começaremos com ), e vamos ir refinando essas estimativas em cada iteração até chegar a uma resposta satisfatória.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para isolar cada variável. Isso facilita a aplicação do método de Gauss-Seidel.
Dado o sistema:
Vamos isolar , e :
Passo 3
Agora, começamos com a estimativa inicial: , , .
Iteração 1:
Calculamos , , usando as fórmulas reescritas:
Passo 4
Iteração 2:
Usamos os valores da primeira iteração para calcular a segunda:
Passo 5
Iteração 3:
Agora, usamos os valores da segunda iteração para calcular a terceira:
Passo 6
Cálculo do Erro Relativo:
O erro relativo é calculado comparando os valores da terceira iteração () com os da segunda iteração ().
Para cada variável:
Calculamos individualmente:
Resposta
Após três iterações pelo método de Gauss-Seidel, a aproximação das soluções é:
E o erro relativo das variáveis é aproximadamente: