Encontre a solução dos sistemas lineares usando o método Gauss Seidel até a terceira iteração, qual o erro relativo da resposta?
а)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel até a terceira iteração e calcular o erro relativo da resposta.
O que é? Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde cada uma é uma linha que relaciona variáveis de primeira potência. O método de Gauss-Seidel é uma técnica iterativa usada para encontrar soluções aproximadas para esses sistemas.
O que precisamos? Precisamos do sistema de equações, de uma estimativa inicial para as variáveis (aqui, começaremos com ), e vamos ir refinando essas estimativas em cada iteração até chegar a uma resposta satisfatória.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para isolar cada variável. Isso facilita a aplicação do método de Gauss-Seidel.
Dado o sistema:
5x - 2y + z = -8 x + 5y - z = 8 x - y + 3z = 0
Vamos isolar x = -8 + 2y - z5 y = 8 - x + z5 z = -x + y3 , e :
O erro relativo é calculado comparando os valores da terceira iteração ( Erro Relativo = | Valor Atual - Valor AnteriorValor Atual | ) com os da segunda iteração ( Erro Relativo de x = | -0.9884 - (-1.0667)-0.9884 | = | 0.0783-0.9884 | approx 0.0792 ou 7.92% ).
Para cada variável:
Erro Relativo de y = | 1.8053 - 2.0481.8053 | = | -0.24271.8053 | approx 0.1345 ou 13.45%
Calculamos individualmente:
Erro Relativo de z = | 0.9312 - 1.03820.9312 | = | -0.1070.9312 | approx 0.1148 ou 11.48%
Resposta
Após três iterações pelo método de Gauss-Seidel, a aproximação das soluções é:
x approx -0.9884, y approx 1.8053, z approx 0.9312
E o erro relativo das variáveis é aproximadamente:
Erro Relativo de x = 7.92%, Erro Relativo de y = 13.45%, Erro Relativo de z = 11.48%