Encontre a solução dos sistemas lineares usando o método Gauss Seidel até a terceira iteração, qual o erro relativo da resposta?
а) [rrr5 & -2 & 1 1 & 5 & -1 1 & -1 & 3][lx y z] & =[r-8 8 0] x0 & =0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel até a terceira iteração e calcular o erro relativo da resposta.
O que é? Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde cada uma é uma linha que relaciona variáveis de primeira potência. O método de Gauss-Seidel é uma técnica iterativa usada para encontrar soluções aproximadas para esses sistemas.
O que precisamos? Precisamos do sistema de equações, de uma estimativa inicial para as variáveis (aqui, começaremos com ), e vamos ir refinando essas estimativas em cada iteração até chegar a uma resposta satisfatória.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações para isolar cada variável. Isso facilita a aplicação do método de Gauss-Seidel.
Dado o sistema:
5x - 2y + z = -8 x + 5y - z = 8 x - y + 3z = 0
Vamos isolar x = -8 + 2y - z5 y = 8 - x + z5 z = -x + y3 , e :

Passo 3

Agora, começamos com a estimativa inicial: x1 = -8 + 2(0) - 05 = -85 = -1.6 , y1 = 8 - (-1.6) + 05 = 9.65 = 1.92 , z1 = -(-1.6) + 1.923 = 1.6 + 1.923 = 3.523 approx 1.1733 .
Iteração 1:
Calculamos , , usando as fórmulas reescritas:

Passo 4

Iteração 2:
Usamos os valores da primeira iteração para calcular a segunda:
x2 = -8 + 2(1.92) - 1.17335 = -8 + 3.84 - 1.17335 = -5.33335 = -1.0667
y2 = 8 - (-1.0667) + 1.17335 = 10.245 = 2.048
z2 = -(-1.0667) + 2.0483 = 1.0667 + 2.0483 = 3.11473 approx 1.0382

Passo 5

Iteração 3:
Agora, usamos os valores da segunda iteração para calcular a terceira:
x3 = -8 + 2(2.048) - 1.03825 = -8 + 4.096 - 1.03825 = -4.94225 = -0.9884
y3 = 8 - (-0.9884) + 1.03825 = 9.02665 = 1.8053
z3 = -(-0.9884) + 1.80533 = 0.9884 + 1.80533 = 2.79373 approx 0.9312

Passo 6

Cálculo do Erro Relativo:
O erro relativo é calculado comparando os valores da terceira iteração ( Erro Relativo = | Valor Atual - Valor AnteriorValor Atual | ) com os da segunda iteração ( Erro Relativo de x = | -0.9884 - (-1.0667)-0.9884 | = | 0.0783-0.9884 | approx 0.0792 ou 7.92% ).
Para cada variável:
Erro Relativo de y = | 1.8053 - 2.0481.8053 | = | -0.24271.8053 | approx 0.1345 ou 13.45%
Calculamos individualmente:
Erro Relativo de z = | 0.9312 - 1.03820.9312 | = | -0.1070.9312 | approx 0.1148 ou 11.48%

Resposta

Após três iterações pelo método de Gauss-Seidel, a aproximação das soluções é:
x approx -0.9884, y approx 1.8053, z approx 0.9312
E o erro relativo das variáveis é aproximadamente:
Erro Relativo de x = 7.92%, Erro Relativo de y = 13.45%, Erro Relativo de z = 11.48%

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