Encontre a solução dos sistemas lineares usando o método da fatoração LU.
b)
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um sistema de equações lineares usando o método da fatoração LU. Isso significa que vamos decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U). Para isso, precisamos seguir alguns passos para encontrar essas matrizes e, em seguida, resolver o sistema. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial , onde:
Nosso objetivo é encontrar as matrizes e tal que .
Passo 3
Vamos começar decompondo a matriz . A matriz será uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal, e uma matriz triangular superior. Escrevemos:
Passo 4
Multiplicando e , temos:
Igualando a , podemos determinar os elementos de e .
Passo 5
Vamos encontrar :
Agora, e diretamente da primeira linha de .
Passo 6
Para encontrar :
Agora, para encontrar :
Para :
Passo 7
Agora, vamos encontrar :
Para :
Por fim, para :
Passo 8
Agora que encontramos todos os elementos de e , temos:
Passo 9
Agora, vamos resolver o sistema em duas etapas. Primeiro, resolvemos para , e depois para .
Resolvendo :
Passo 10
Primeiro, encontramos :
Agora, substituímos na segunda equação para encontrar :
Passo 11
Por último, substituímos e na terceira equação para encontrar :
Passo 12
Agora que temos , vamos resolver :
Passo 13
Começamos pela terceira equação para encontrar :
Passo 14
Agora, substituímos na segunda equação para encontrar :
Passo 15
Por fim, substituímos e na primeira equação para encontrar :