Encontre a solução dos sistemas lineares usando o método da fatoração LU.
b) [rrr2 & -1 & 4 6 & -134 & 19 1 & -14 & 0][lx y z]=[c21 4474 -134]

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um sistema de equações lineares usando o método da fatoração LU. Isso significa que vamos decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U). Para isso, precisamos seguir alguns passos para encontrar essas matrizes e, em seguida, resolver o sistema. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial A = 2 & -1 & 4 6 & -134 & 19 1 & -14 & 0 , x = x y z , b = 21 4474 -134 , onde:
Nosso objetivo é encontrar as matrizes e tal que .

Passo 3

Vamos começar decompondo a matriz L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 . A matriz será uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal, e uma matriz triangular superior. Escrevemos:

Passo 4

Multiplicando LU = u11 & u12 & u13 l21u11 & l21u12 + u22 & l21u13 + u23 l31u11 & l31u12 + l32u22 & l31u13 + l32u23 + u33 e , temos:
Igualando a , podemos determinar os elementos de e .

Passo 5

Vamos encontrar u11 = 2 :
Agora, e diretamente da primeira linha de .

Passo 6

Para encontrar l21 = 6u11 = 62 = 3 :
l21u12 + u22 = -134 3 times (-1) + u22 = -134 -3 + u22 = -134 u22 = -134 + 3 = -134 + 124 = -14
Agora, para encontrar l21u13 + u23 = 19 3 times 4 + u23 = 19 12 + u23 = 19 u23 = 7 :
Para :

Passo 7

Agora, vamos encontrar l31 = 1u11 = 12 :
l31u12 + l32u22 = -14 12 times (-1) + l32 times (-14) = -14 -12 - 14l32 = -14 -14l32 = 14 - 12 = -14 l32 = 1
Para l31u13 + l32u23 + u33 = 0 12 times 4 + 1 times 7 + u33 = 0 2 + 7 + u33 = 0 u33 = -9 :
Por fim, para :

Passo 8

Agora que encontramos todos os elementos de L = 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 12 & 1 & 1 , U = 2 & -1 & 4 0 & -14 & 7 0 & 0 & -9 e , temos:

Passo 9

Agora, vamos resolver o sistema y1 = 21 3y1 + y2 = 4474 12y1 + y2 + y3 = -134 em duas etapas. Primeiro, resolvemos para , e depois para .
Resolvendo :

Passo 10

Primeiro, encontramos y1 = 21 :
3 times 21 + y2 = 4474 63 + y2 = 4474 y2 = 4474 - 63 = 4474 - 2524 = 1954
Agora, substituímos na segunda equação para encontrar :

Passo 11

Por último, substituímos 12 times 21 + 1954 + y3 = -134 212 + 1954 + y3 = -134 424 + 1954 + y3 = -134 2374 + y3 = -134 y3 = -134 - 2374 = -2504 = -1252 e na terceira equação para encontrar :

Passo 12

Agora que temos 21 1954 -1252 , vamos resolver 2x - y + 4z = 21 -14y + 7z = 1954 -9z = -1252 :

Passo 13

Começamos pela terceira equação para encontrar -9z = -1252 z = 1252 times 9 = 12518 :

Passo 14

Agora, substituímos -14y + 7 times 12518 = 1954 -14y + 87518 = 1954 -14y = 1954 - 87518 -14y = 877.5 - 87518 = 2.518 = 536 y = -4 times 536 = -2036 = -59 na segunda equação para encontrar :

Passo 15

Por fim, substituímos 2x - (-59) + 4 times 12518 = 21 2x + 59 + 50018 = 21 2x + 59 + 2509 = 21 2x + 2559 = 21 2x + 283 = 21 2x = 21 - 283 = -73 x = -732 = -223 e na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = -223, y = -59, z = 12518

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