Para os sistemas abaixo obtenha a solução utilizando um método numérico de sua escolha.
l3 x1+2 x2+4 x3=1 x1+x2+2 x3=2 4 x1+3 x2+2 x3=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando um método numérico. O sistema que temos é:
3x1 + 2x2 + 4x3 = 1 x1 + x2 + 2x3 = 2 4x1 + 3x2 + 2x3 = 3
Vamos usar o Método de Jacobi, que é um jeito iterativo de encontrar as soluções das incógnitas em sistemas lineares. Esse método é útil quando o sistema é grande ou quando queremos uma aproximação rápida.

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever cada equação isolando cada variável. Ou seja, expressar 3x1 = 1 - 2x2 - 4x3 Rightarrow x1 = 1 - 2x2 - 4x33 , x1 + x2 + 2x3 = 2 Rightarrow x2 = 2 - x1 - 2x3 e 4x1 + 3x2 + 2x3 = 3 Rightarrow x3 = 3 - 4x1 - 3x22 em função das outras variáveis. Vamos fazer isso para cada equação:
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:
  1. Da terceira equação:

Passo 3

Agora, escolhemos valores iniciais para x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0 , e . Vamos começar com:
Esses são apenas pontos de partida e servem para iniciar as iterações.

Passo 4

Aplicamos as fórmulas que isolamos para encontrar os novos valores de x1^(1) = 1 - 2(0) - 4(0)3 = 13 approx 0,333 , x2^(1) = 2 - 0 - 2(0) = 2 e x3^(1) = 3 - 4(0) - 3(0)2 = 32 = 1,5 . Na primeira iteração:

Passo 5

Usamos os novos valores para fazer a próxima iteração:
x1^(2) = 1 - 2(2) - 4(1,5)3 = 1 - 4 - 63 = -93 = -3
x2^(2) = 2 - 0,333 - 2(1,5) = 2 - 0,333 - 3 = -1,333
x3^(2) = 3 - 4(0,333) - 3(2)2 = 3 - 1,332 - 62 = -4,3322 = -2,166

Passo 6

Continuamos esse processo até que os valores de x1^(3) = 1 - 2(-1,333) - 4(-2,166)3 = 1 + 2,666 + 8,6643 approx 12,333 approx 4,11 , x2^(3) = 2 - (-3) - 2(-2,166) = 2 + 3 + 4,332 approx 9,332 e x3^(3) = 3 - 4( -3) - 3(-1,333)2 = 3 + 12 + 42 = 192 = 9,5 parem de mudar muito, ou seja, até convergirem para valores estáveis. Vamos fazer mais duas iterações para ilustrar:
Terceira iteração:
x1^(4) = 1 - 2(9,332) - 4(9,5)3 = 1 - 18,664 - 383 approx -55,6643 approx -18,555
x2^(4) = 2 - 4,11 - 2(9,5) = 2 - 4,11 - 19 approx -21,11
x3^(4) = 3 - 4(-18,555) - 3(9,332)2 = 3 + 74,22 - 27,9962 approx 49,2242 approx 24,612
Quarta iteração:

Resposta

Depois de algumas iterações, os valores começam a oscilar e não convergem para uma solução estável. Isso indica que o Método de Jacobi pode não ser o mais adequado para esse sistema específico ou que precisamos de um critério de parada mais rigoroso. Para obter a solução exata, métodos diretos como a eliminação de Gauss seriam mais eficientes. No entanto, seguindo o Método de Jacobi, os valores não estão se estabilizando nas iterações realizadas.

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