Seja f(x)=e^-x cos (x)-0.5, qual é o valor aproximado da raiz encontrado pelo método da Bissecção na quarta iteração ( barx4 )? Para os cálculos use o intervalo [lla & b]=[ll-6 & -4].

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente tem a função e queremos encontrar uma raiz dessa função usando o método da Bissecção. A matéria aqui envolve métodos numéricos, especificamente o método da Bissecção, que ajuda a encontrar raízes de funções contínuas em um intervalo dado. Precisamos entender como o método funciona e aplicar as etapas passo a passo no intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é o método da Bissecção. Esse método consiste em dividir o intervalo em duas partes iguais e verificar em qual delas a função muda de sinal, ou seja, onde a raiz está localizada. Repetimos esse processo até encontrar uma aproximação da raiz com a precisão desejada.

Passo 3

Nosso intervalo inicial é f(-6) = e^6 cos(-6) - 0.5 approx e^6 cos(6) - 0.5 approx 403.4288 times 0.9601703 - 0.5 approx 386.135 - 0.5 approx 385.635 . Vamos calcular o valor da função nos extremos:
f(-4) = e^4 cos(-4) - 0.5 approx e^4 cos(4) - 0.5 approx 54.5981 times -0.6536436 - 0.5 approx -35.644 - 0.5 approx -36.144
Como e , sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Vamos começar as iterações do método da Bissecção. Em cada iteração, calculamos o ponto médio do intervalo e verificamos o sinal da função nesse ponto.
Iteração 1:
c1 = -6 + (-4)2 = -5
f(-5) = e^5 cos(-5) - 0.5 approx 148.4132 times 0.2836622 - 0.5 approx 42.122 - 0.5 approx 41.622
Como c2 = -5 + (-4)2 = -4.5 , a raiz está no intervalo f(-4.5) = e^4.5 cos(-4.5) - 0.5 approx 90.0171 times -0.2107958 - 0.5 approx -18.934 - 0.5 approx -19.434 .
Iteração 2:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 5

Iteração 3:
c3 = -5 + (-4.5)2 = -4.75
f(-4.75) = e^4.75 cos(-4.75) - 0.5 approx 115.5845 times (-0.0415807) - 0.5 approx -4.810 - 0.5 approx -5.310
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 6

Iteração 4:
c4 = -5 + (-4.75)2 = -4.875
f(-4.875) = e^4.875 cos(-4.875) - 0.5 approx 131.8484 times 0.1689 - 0.5 approx 22.268 - 0.5 approx 21.768
Como , a raiz está no intervalo .

Resposta

Após a quarta iteração, o valor aproximado da raiz pelo método da Bissecção é .

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