Encontre a solução utilizando os métodos de Eliminação de Gauss, Fatoração LU e Cholesky, todos com pivoteamento parcial. Analise os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que você enviou! O problema apresenta quatro equações lineares com quatro incógnitas: e . A ideia é encontrar os valores dessas incógnitas que satisfazem todas as equações simultaneamente. Para isso, vamos usar três métodos diferentes que você mencionou: Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, Fatoração LU com pivoteamento parcial e Fatoração de Cholesky com pivoteamento parcial. Vou explicar cada passo de forma simples para você entender direitinho.
Passo 2
Vamos começar com a Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. Esse método transforma o sistema original em uma forma triangular, onde conseguimos resolver as incógnitas uma de cada vez. O pivoteamento parcial ajuda a evitar erros numéricos trocando as linhas para que o maior valor absoluto de cada coluna esteja na posição correta.
Primeiro, reescrevemos o sistema como uma matriz aumentada:
Passo 3
Eliminação para a primeira coluna:
Identificamos o maior valor absoluto na primeira coluna para escolher o pivô. Aqui, é maior que os outros números, então trocamos a primeira linha pela quarta:
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô (5.6) na primeira coluna.
Passo 4
Calculamos os fatores para eliminar os elementos abaixo do pivô:
Para a segunda linha:
Para a terceira linha:
Para a quarta linha:
Subtraímos vezes a primeira linha das demais linhas:
Passo 5
Eliminação para a segunda coluna:
Agora, olhamos para a segunda coluna e escolhemos o maior valor absoluto como pivô. O valor na quarta linha é o maior, então trocamos a segunda linha com a quarta:
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô (4.6429) na segunda coluna.
Passo 6
Calculamos os fatores para eliminar os elementos abaixo do pivô:
Para a terceira linha:
Para a quarta linha:
Subtraímos vezes a segunda linha das respectivas linhas:
Passo 7
Eliminação para a terceira coluna:
Novamente, escolhemos o maior valor absoluto na terceira coluna como pivô. O valor na quarta linha tem maior valor absoluto que , então trocamos a terceira linha com a quarta:
Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô na terceira coluna.
Passo 8
Calculamos o fator para eliminar o elemento abaixo do pivô na terceira coluna:
Para a quarta linha:
Subtraímos vezes a terceira linha da quarta linha:
Passo 9
Agora que temos a matriz triangular, podemos resolver o sistema de baixo para cima: