Seja o sistema de equações lineares:
Encontre a solução utilizando os métodos de Eliminação de Gauss, Fatoração LU e Cholesky, todos com pivoteamento parcial. Analise os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que você enviou! O problema apresenta quatro equações lineares com quatro incógnitas: e . A ideia é encontrar os valores dessas incógnitas que satisfazem todas as equações simultaneamente. Para isso, vamos usar três métodos diferentes que você mencionou: Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, Fatoração LU com pivoteamento parcial e Fatoração de Cholesky com pivoteamento parcial. Vou explicar cada passo de forma simples para você entender direitinho.

Passo 2

Vamos começar com a Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. Esse método transforma o sistema original em uma forma triangular, onde conseguimos resolver as incógnitas uma de cada vez. O pivoteamento parcial ajuda a evitar erros numéricos trocando as linhas para que o maior valor absoluto de cada coluna esteja na posição correta.
Primeiro, reescrevemos o sistema como uma matriz aumentada:

Passo 3

Eliminação para a primeira coluna:
Identificamos o maior valor absoluto na primeira coluna para escolher o pivô. Aqui, é maior que os outros números, então trocamos a primeira linha pela quarta:
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô (5.6) na primeira coluna.

Passo 4

Calculamos os fatores para eliminar os elementos abaixo do pivô:
  • Para a segunda linha:
  • Para a terceira linha:
  • Para a quarta linha:
Subtraímos vezes a primeira linha das demais linhas:

Passo 5

Eliminação para a segunda coluna:
Agora, olhamos para a segunda coluna e escolhemos o maior valor absoluto como pivô. O valor na quarta linha é o maior, então trocamos a segunda linha com a quarta:
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô (4.6429) na segunda coluna.

Passo 6

Calculamos os fatores para eliminar os elementos abaixo do pivô:
  • Para a terceira linha:
  • Para a quarta linha:
Subtraímos vezes a segunda linha das respectivas linhas:

Passo 7

Eliminação para a terceira coluna:
Novamente, escolhemos o maior valor absoluto na terceira coluna como pivô. O valor na quarta linha tem maior valor absoluto que , então trocamos a terceira linha com a quarta:
Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô na terceira coluna.

Passo 8

Calculamos o fator para eliminar o elemento abaixo do pivô na terceira coluna:
  • Para a quarta linha:
Subtraímos vezes a terceira linha da quarta linha:

Passo 9

Agora que temos a matriz triangular, podemos resolver o sistema de baixo para cima:
  1. Quarta Equação:
  1. Terceira Equação:
  1. Segunda Equação:
  1. Primeira Equação:
[
5.6 \cdot x_1 + 0.0826 + 1.169 - 0.841 = -2 \implies 5.6 \cdot x_1 + 0.4106 = -2 \implies 5.6 \cdot x_1 = -2.4106 \implies x_1 \approx -0.430

Resposta

A solução do sistema de equações é aproximadamente:

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Verifique se é solução . Determine ao menos um intervalo de existência.