Seja o sistema de equações lineares:
-1.2 x1+5 x2+6 x3+x4 & =7 2 x1+3.4 x2+x3 & =1 -x1+x2-3 x3+x4 & =-2 5.6 x1-2 x2+x3+x4 & =-2
Encontre a solução utilizando os métodos de Eliminação de Gauss, Fatoração LU e Cholesky, todos com pivoteamento parcial. Analise os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que você enviou! O problema apresenta quatro equações lineares com quatro incógnitas: e . A ideia é encontrar os valores dessas incógnitas que satisfazem todas as equações simultaneamente. Para isso, vamos usar três métodos diferentes que você mencionou: Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, Fatoração LU com pivoteamento parcial e Fatoração de Cholesky com pivoteamento parcial. Vou explicar cada passo de forma simples para você entender direitinho.

Passo 2

Vamos começar com a Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. Esse método transforma o sistema original em uma forma triangular, onde conseguimos resolver as incógnitas uma de cada vez. O pivoteamento parcial ajuda a evitar erros numéricos trocando as linhas para que o maior valor absoluto de cada coluna esteja na posição correta.
Primeiro, reescrevemos o sistema como uma matriz aumentada:
-1.2 & 5 & 6 & 1 & | & 7 2 & 3.4 & 1 & 0 & | & 1 -1 & 1 & -3 & 1 & | & -2 5.6 & -2 & 1 & 1 & | & -2

Passo 3

Eliminação para a primeira coluna:
Identificamos o maior valor absoluto na primeira coluna para escolher o pivô. Aqui, 5.6 & -2 & 1 & 1 & | & -2 2 & 3.4 & 1 & 0 & | & 1 -1 & 1 & -3 & 1 & | & -2 -1.2 & 5 & 6 & 1 & | & 7 é maior que os outros números, então trocamos a primeira linha pela quarta:
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô (5.6) na primeira coluna.

Passo 4

Calculamos os fatores para eliminar os elementos abaixo do pivô:
  • Para a segunda linha: 5.6 & -2 & 1 & 1 & | & -2 0 & 3.4286 & 0.6429 & -0.3571 & | & 1.7143 0 & 0.6429 & -2.9286 & 1.1786 & | & -2.3571 0 & 4.6429 & 6.2143 & 0.7857 & | & 6.4286
  • Para a terceira linha:
  • Para a quarta linha:
Subtraímos vezes a primeira linha das demais linhas:

Passo 5

Eliminação para a segunda coluna:
Agora, olhamos para a segunda coluna e escolhemos o maior valor absoluto como pivô. O valor 5.6 & -2 & 1 & 1 & | & -2 0 & 4.6429 & 6.2143 & 0.7857 & | & 6.4286 0 & 0.6429 & -2.9286 & 1.1786 & | & -2.3571 0 & 3.4286 & 0.6429 & -0.3571 & | & 1.7143 na quarta linha é o maior, então trocamos a segunda linha com a quarta:
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô (4.6429) na segunda coluna.

Passo 6

Calculamos os fatores para eliminar os elementos abaixo do pivô:
  • Para a terceira linha: 5.6 & -2 & 1 & 1 & | & -2 0 & 4.6429 & 6.2143 & 0.7857 & | & 6.4286 0 & 0 & -3.8393 & 1.0714 & | & -3.2857 0 & 0 & -4.3286 & -0.9286 & | & -4.2857
  • Para a quarta linha:
Subtraímos vezes a segunda linha das respectivas linhas:

Passo 7

Eliminação para a terceira coluna:
Novamente, escolhemos o maior valor absoluto na terceira coluna como pivô. O valor 5.6 & -2 & 1 & 1 & | & -2 0 & 4.6429 & 6.2143 & 0.7857 & | & 6.4286 0 & 0 & -4.3286 & -0.9286 & | & -4.2857 0 & 0 & -3.8393 & 1.0714 & | & -3.2857 na quarta linha tem maior valor absoluto que , então trocamos a terceira linha com a quarta:
Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô na terceira coluna.

Passo 8

Calculamos o fator para eliminar o elemento abaixo do pivô na terceira coluna:
  • Para a quarta linha: 5.6 & -2 & 1 & 1 & | & -2 0 & 4.6429 & 6.2143 & 0.7857 & | & 6.4286 0 & 0 & -4.3286 & -0.9286 & | & -4.2857 0 & 0 & 0 & 1.8155 & | & -1.5263
Subtraímos vezes a terceira linha da quarta linha:

Passo 9

Agora que temos a matriz triangular, podemos resolver o sistema de baixo para cima:
  1. Quarta Equação:
1.8155 cdot x4 = -1.5263 implies x4 = -1.52631.8155 approx -0.841
  1. Terceira Equação:
-4.3286 cdot x3 - 0.9286 cdot (-0.841) = -4.2857
-4.3286 cdot x3 + 0.781 = -4.2857 implies -4.3286 cdot x3 = -5.066 implies x3 approx 1.169
  1. Segunda Equação:
4.6429 cdot x2 + 6.2143 cdot 1.169 + 0.7857 cdot (-0.841) = 6.4286
4.6429 cdot x2 + 7.28 - 0.66 = 6.4286 implies 4.6429 cdot x2 = -0.1914 implies x2 approx -0.0413
  1. Primeira Equação:
5.6 cdot x1 - 2 cdot (-0.0413) + 1 cdot 1.169 + 1 cdot (-0.841) = -2
[
5.6 \cdot x_1 + 0.0826 + 1.169 - 0.841 = -2 \implies 5.6 \cdot x_1 + 0.4106 = -2 \implies 5.6 \cdot x_1 = -2.4106 \implies x_1 \approx -0.430

Resposta

A solução do sistema de equações é aproximadamente:
x1 approx -0.430, x2 approx -0.0413, x3 approx 1.169, x4 approx -0.841

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