Encontre todas as soluções reais da equação
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar todos os números reais que satisfazem a equação
. Isso envolve trabalhar com funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como essas funções se comportam e talvez usar alguns métodos de aproximação, já que não dá para resolver essa equação de forma exata facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as duas funções envolvidas:
-
: Essa é uma função exponencial. Ela cresce rapidamente à medida que aumenta e se aproxima de zero quando é negativo. -
: Essa é uma função polinomial de quarto grau. Ela é sempre positiva e cresce muito à medida que aumenta.
Vamos tentar encontrar os pontos onde essas duas funções se igualam, ou seja, onde elas se cruzam no gráfico.
Passo 3
Vamos testar alguns valores de
para ver onde
e
são iguais ou quase iguais.
-
Para
:
e . Não são iguais. -
Para
:
e . Não são iguais. -
Para
:
e . Não são iguais. -
Para
:
e . Não são iguais. -
Para
:
e . Não são iguais.
Vemos que, à medida que
aumenta,
cresce mais rápido que
. Vamos tentar valores negativos.
- Para
:
e . Não são iguais.
Parece que não encontramos soluções exatas facilmente. Então, vamos pensar em métodos de aproximação.
Passo 4
Uma maneira de encontrar soluções aproximadas é usar o método da interseção gráfica. Vamos traçar os gráficos de
e
e ver onde eles se encontram.
- Para
valores positivos, já vimos que cresce mais rápido. - Para
valores negativos, se aproxima de zero, enquanto continua sendo positivo.
Isso sugere que pode haver duas soluções:
- Uma solução entre
e . - Outra solução entre
e .
Passo 5
Vamos usar uma tabela de valores para refinar onde as soluções estão.
-
Entre
e : - Para
:
Aqui,.
Parece que não há solução nesse intervalo. - Para
-
Entre
e : -
Para
:
Aqui,. -
Para
:
Aqui,.
Então, há uma solução entree . -
Passo 6
Para encontrar uma aproximação melhor, podemos usar o método de bissecção.
-
Primeira iteração:
-
, -
-
-
-
, então a solução está entre e .
-
-
Segunda iteração:
-
, -
-
-
-
, então a solução está entre e .
-
-
Terceira iteração:
-
, -
-
-
-
, então a solução está entre e .
-
Continuando esse processo, podemos aproximar a solução até obter a precisão desejada.
Resposta
As soluções reais da equação
são aproximadamente
e
.
Exercícios relacionados
A soma de dois números é 20. Se cada número for adicionado à própria raiz quadrada, o produto das duas somas será 155,55 . Determine os dois números com precisão de
.
Considerando que:
e
, use a regra da cadeia para encontrar
em :
Um cilindro metálico tem altura
e raio de base
. Foram efetuadas 5 medidas de cada uma dessas dimensões, obtendo-se os valores a seguir:
|
20,50 | 20,49 | 20,51 | 20,52 | 20,51 |
---|---|---|---|---|---|
|
5,02 | 5,01 | 4,99 | 5,01 | 5,02 |
Determine o volume e a área lateral do cilindro.
Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação com precisão de
do valor de
que produza o ponto da parábola
mais próximo de
.