Encontre todas as soluções reais da equação .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar todos os números reais que satisfazem a equação . Isso envolve trabalhar com funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como essas funções se comportam e talvez usar alguns métodos de aproximação, já que não dá para resolver essa equação de forma exata facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas funções envolvidas:
  • : Essa é uma função exponencial. Ela cresce rapidamente à medida que aumenta e se aproxima de zero quando é negativo.
  • : Essa é uma função polinomial de quarto grau. Ela é sempre positiva e cresce muito à medida que aumenta.
Vamos tentar encontrar os pontos onde essas duas funções se igualam, ou seja, onde elas se cruzam no gráfico.

Passo 3

Vamos testar alguns valores de para ver onde e são iguais ou quase iguais.
  • Para :
    e . Não são iguais.
  • Para :
    e . Não são iguais.
  • Para :
    e . Não são iguais.
  • Para :
    e . Não são iguais.
  • Para :
    e . Não são iguais.
Vemos que, à medida que aumenta, cresce mais rápido que . Vamos tentar valores negativos.
  • Para :
    e . Não são iguais.
Parece que não encontramos soluções exatas facilmente. Então, vamos pensar em métodos de aproximação.

Passo 4

Uma maneira de encontrar soluções aproximadas é usar o método da interseção gráfica. Vamos traçar os gráficos de e e ver onde eles se encontram.
  • Para valores positivos, já vimos que cresce mais rápido.
  • Para valores negativos, se aproxima de zero, enquanto continua sendo positivo.
Isso sugere que pode haver duas soluções:
  1. Uma solução entre e .
  2. Outra solução entre e .

Passo 5

Vamos usar uma tabela de valores para refinar onde as soluções estão.
  • Entre e :
    • Para :


      Aqui, .
    Parece que não há solução nesse intervalo.
  • Entre e :
    • Para :


      Aqui, .
    • Para :


      Aqui, .
    Então, há uma solução entre e .

Passo 6

Para encontrar uma aproximação melhor, podemos usar o método de bissecção.
  • Primeira iteração:
    • ,
    • , então a solução está entre e .
  • Segunda iteração:
    • ,
    • , então a solução está entre e .
  • Terceira iteração:
    • ,
    • , então a solução está entre e .
Continuando esse processo, podemos aproximar a solução até obter a precisão desejada.

Resposta

As soluções reais da equação são aproximadamente e .

Exercícios relacionados

A soma de dois números é 20. Se cada número for adicionado à própria raiz quadrada, o produto das duas somas será 155,55 . Determine os dois números com precisão de .
Considerando que: e , use a regra da cadeia para encontrar em :
Um cilindro metálico tem altura e raio de base . Foram efetuadas 5 medidas de cada uma dessas dimensões, obtendo-se os valores a seguir:
20,50 20,49 20,51 20,52 20,51
5,02 5,01 4,99 5,01 5,02
Determine o volume e a área lateral do cilindro.
Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação com precisão de do valor de que produza o ponto da parábola mais próximo de .