Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação com precisão de 10^-4 do valor de x que produza o ponto da parábola y=x^2 mais próximo de (1,0).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer! A questão pede pra gente usar o método de Newton para encontrar uma aproximação bem precisa (com erro menor que 10^-4) do valor de x que faz com que o ponto na parábola y = x^2 seja o mais próximo do ponto (1,0).
Aqui, vamos usar conhecimentos de Cálculo, mais especificamente de otimização e método de Newton. Vamos precisar entender como minimizar a distância entre dois pontos e aplicar a fórmula do método de Newton para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o ponto na parábola y = x^2 que está mais próximo de (1,0). A gente quer minimizar a distância entre (x, x^2) e (1,0).
A fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
D = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Mas como a raiz quadrada é uma função crescente, para minimizar D, podemos minimizar D^2 e facilitar os cálculos. Então, a função que vamos minimizar é:
D^2 = (x - 1)^2 + (x^2 - 0)^2 = (x - 1)^2 + x^4

Passo 3

Agora, para encontrar o mínimo de D^2, vamos derivar essa função em relação a x e igualar a derivada a zero. Isso porque, nos pontos de mínimo ou máximo, a derivada é zero.
Então, vamos derivar D^2:
ddxD^2 = 2(x - 1) + 4x^3
Queremos resolver a equação:
2(x - 1) + 4x^3 = 0
Simplificando:
4x^3 + 2x - 2 = 0
Ou seja:
2x^3 + x - 1 = 0
Essa é a equação que precisamos resolver usando o método de Newton.

Passo 4

O método de Newton é uma técnica para encontrar aproximações sucessivamente melhores para as raízes de uma função. A fórmula do método é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • xn é a aproximação atual,
  • f(x) é a função cuja raiz queremos encontrar,
  • f'(x) é a derivada de f(x).
No nosso caso, a função é:
f(x) = 2x^3 + x - 1
E sua derivada é:
f'(x) = 6x^2 + 1

Passo 5

Agora, precisamos escolher um valor inicial x0 para começar as iterações do método de Newton. Vamos fazer uma estimativa gráfica ou lógica. Observando a função f(x) = 2x^3 + x - 1:
  • Para x=0: f(0) = -1
  • Para x=0.5: f(0.5) = 2*(0.125) + 0.5 -1 = 0.25 + 0.5 -1 = -0.25
  • Para x=1: f(1) = 2 + 1 -1 = 2
Vemos que a raiz está entre 0.5 e 1. Vamos começar com x0 = 0.5.

Passo 6

Vamos aplicar a fórmula do método de Newton:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0)
Primeira iteração:
  • x0 = 0.5
  • f(x0) = 2*(0.5)^3 + 0.5 -1 = 2*0.125 + 0.5 -1 = 0.25 + 0.5 -1 = -0.25
  • f'(x0) = 6*(0.5)^2 + 1 = 6*0.25 + 1 = 1.5 +1 = 2.5
Então,
x1 = 0.5 - -0.252.5 = 0.5 + 0.1 = 0.6

Passo 7

Segunda iteração:
  • x1 = 0.6
  • f(x1) = 2*(0.6)^3 + 0.6 -1 = 2*0.216 + 0.6 -1 = 0.432 + 0.6 -1 = 0.032
  • f'(x1) = 6*(0.6)^2 + 1 = 6*0.36 +1 = 2.16 +1 = 3.16
Então,
x2 = 0.6 - 0.0323.16 approx 0.6 - 0.0101266 approx 0.5898734

Passo 8

Terceira iteração:
  • x2 approx 0.5898734
  • f(x2) = 2*(0.5898734)^3 + 0.5898734 -1 approx 2*0.205854 + 0.5898734 -1 approx 0.411708 + 0.5898734 -1 approx 0.0015814
  • f'(x2) = 6*(0.5898734)^2 + 1 approx 6*0.347916 +1 approx 2.087496 +1 = 3.087496
Então,
x3 = 0.5898734 - 0.00158143.087496 approx 0.5898734 - 0.000513 approx 0.5893604

Passo 9

Quarta iteração:
  • x3 approx 0.5893604
  • f(x3) = 2*(0.5893604)^3 + 0.5893604 -1 approx 2*0.205362 + 0.5893604 -1 approx 0.410724 + 0.5893604 -1 approx 0.0000844
  • f'(x3) = 6*(0.5893604)^2 + 1 approx 6*0.347305 +1 approx 2.08383 +1 = 3.08383
Então,
x4 = 0.5893604 - 0.00008443.08383 approx 0.5893604 - 0.0000274 approx 0.5893330

Passo 10

Vamos verificar a precisão. A diferença entre x4 e x3 é aproximadamente 0.5893330 - 0.5893604 = -0.0000274, que é menor que 10^-4. Então, podemos parar por aqui.

Resposta

Aproximando com precisão de 10^-4, o valor de x que produz o ponto na parábola y = x^2 mais próximo de (1,0) é aproximadamente:
x approx 0.5893

Exercícios relacionados