Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação com precisão de do valor de que produza o ponto da parábola mais próximo de .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer! A questão pede pra gente usar o método de Newton para encontrar uma aproximação bem precisa (com erro menor que ) do valor de que faz com que o ponto na parábola seja o mais próximo do ponto .
Aqui, vamos usar conhecimentos de Cálculo, mais especificamente de otimização e método de Newton. Vamos precisar entender como minimizar a distância entre dois pontos e aplicar a fórmula do método de Newton para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o ponto na parábola que está mais próximo de . A gente quer minimizar a distância entre e .
A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Mas como a raiz quadrada é uma função crescente, para minimizar , podemos minimizar e facilitar os cálculos. Então, a função que vamos minimizar é:

Passo 3

Agora, para encontrar o mínimo de , vamos derivar essa função em relação a e igualar a derivada a zero. Isso porque, nos pontos de mínimo ou máximo, a derivada é zero.
Então, vamos derivar :
Queremos resolver a equação:
Simplificando:
Ou seja:
Essa é a equação que precisamos resolver usando o método de Newton.

Passo 4

O método de Newton é uma técnica para encontrar aproximações sucessivamente melhores para as raízes de uma função. A fórmula do método é:
Onde:
  • é a aproximação atual,
  • é a função cuja raiz queremos encontrar,
  • é a derivada de .
No nosso caso, a função é:
E sua derivada é:

Passo 5

Agora, precisamos escolher um valor inicial para começar as iterações do método de Newton. Vamos fazer uma estimativa gráfica ou lógica. Observando a função :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que a raiz está entre e . Vamos começar com .

Passo 6

Vamos aplicar a fórmula do método de Newton:
Primeira iteração:
Então,

Passo 7

Segunda iteração:
Então,

Passo 8

Terceira iteração:
Então,

Passo 9

Quarta iteração:
Então,

Passo 10

Vamos verificar a precisão. A diferença entre e é aproximadamente , que é menor que . Então, podemos parar por aqui.

Resposta

Aproximando com precisão de , o valor de que produz o ponto na parábola mais próximo de é aproximadamente:

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20,50 20,49 20,51 20,52 20,51
5,02 5,01 4,99 5,01 5,02
Determine o volume e a área lateral do cilindro.
Encontre todas as soluções reais da equação .
Os problemas que envolvem a quantia necessária para o pagamento de uma hipoteca durante um período fixo utilizam a fórmula a seguir:
denominada equação da anuidade ordinária. Nessa equação, é o valor da hipoteca, é a quantia de cada pagamento e é a taxa de juros por período para períodos de pagamento. Suponha que uma quantia de deve ser paga em trinta anos pela hipoteca de uma casa e que o mutuário possa pagar até por mês pela casa. Qual deve ser a taxa de juros máxima para que o mutuário possa pagar a hipoteca?
Considere duas funções e definidas no intervalo tabeladas abaixo
-2 1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-0.18 0.55 -0.21 0.62 0.88 -0.46 0.28 0.59 -0.59
0.76 0.92 0.41 -0.11 0.19 0.48 -0.23 0.99 -0.13
e considere a função soma .
(a) Use a Regra de Simpson calcular uma aproximação para a integral (faça no espaço abaiko)