Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação com precisão de
do valor de
que produza o ponto da parábola
mais próximo de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer! A questão pede pra gente usar o método de Newton para encontrar uma aproximação bem precisa (com erro menor que
) do valor de
que faz com que o ponto na parábola
seja o mais próximo do ponto
.
Aqui, vamos usar conhecimentos de Cálculo, mais especificamente de otimização e método de Newton. Vamos precisar entender como minimizar a distância entre dois pontos e aplicar a fórmula do método de Newton para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o ponto na parábola
que está mais próximo de
. A gente quer minimizar a distância entre
e
.
A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Mas como a raiz quadrada é uma função crescente, para minimizar
, podemos minimizar
e facilitar os cálculos. Então, a função que vamos minimizar é:
Passo 3
Agora, para encontrar o mínimo de
, vamos derivar essa função em relação a
e igualar a derivada a zero. Isso porque, nos pontos de mínimo ou máximo, a derivada é zero.
Então, vamos derivar
:
Queremos resolver a equação:
Simplificando:
Ou seja:
Essa é a equação que precisamos resolver usando o método de Newton.
Passo 4
O método de Newton é uma técnica para encontrar aproximações sucessivamente melhores para as raízes de uma função. A fórmula do método é:
Onde:
-
é a aproximação atual, -
é a função cuja raiz queremos encontrar, -
é a derivada de .
No nosso caso, a função é:
E sua derivada é:
Passo 5
Agora, precisamos escolher um valor inicial
para começar as iterações do método de Newton. Vamos fazer uma estimativa gráfica ou lógica. Observando a função
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Vemos que a raiz está entre
e
. Vamos começar com
.
Passo 6
Vamos aplicar a fórmula do método de Newton:
Primeira iteração:
Então,
Passo 7
Segunda iteração:
Então,
Passo 8
Terceira iteração:
Então,
Passo 9
Quarta iteração:
Então,
Passo 10
Vamos verificar a precisão. A diferença entre
e
é aproximadamente
, que é menor que
. Então, podemos parar por aqui.
Resposta
Aproximando com precisão de
, o valor de
que produz o ponto na parábola
mais próximo de
é aproximadamente: