Uma partícula sai do repouso em um plano inclinado liso, cujo ângulo está mudando a uma taxa constante
Após segundos, a posição do objeto é dada por
Suponha que a partícula tenha se movido por 1.7 ft em 1 segundo. Encontre, com uma precisão de , a taxa a qual está mudando. Assuma que .
Resolva esse exercício tanto via Método da Bissecção como via Método de Newton. Isole a solução do problema em um intervalo com comprimento 0.5 antes de aplicar cada um dos métodos. No caso do Método de Newton tome como aproximação inicial o ponto médio intervalo escolhido. Em ambos os métodos, trabalhe com 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula que começa parada em um plano inclinado que está mudando de ângulo a uma taxa constante, representada por . A posição da partícula após segundos é dada por uma fórmula envolvendo exponenciais e seno. Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que a partícula se mova 1.7 pés em 1 segundo, com uma precisão de . Para resolver isso, vamos usar dois métodos numéricos: o Método da Bissecção e o Método de Newton. Precisaremos entender como esses métodos funcionam e aplicar as fórmulas corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da posição:
Queremos que ft. Então, substituindo e , temos:
Precisamos resolver essa equação para . Como é uma equação complicada para resolver analiticamente, vamos usar métodos numéricos.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para facilitar a aplicação dos métodos numéricos. Vamos definir uma função:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz . Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção.

Passo 4

Método da Bissecção:
  1. Escolher um intervalo inicial onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Vamos escolher um intervalo, por exemplo, .
  2. Calcular o ponto médio e avaliar .
  3. Verificar o sinal de . Se e têm sinais opostos, o novo intervalo será . Caso contrário, será .
  4. Repetir os passos até que o intervalo seja menor que a precisão desejada ( ).
Vamos aplicar isso numericamente até obtermos com 4 casas decimais.

Passo 5

Método de Newton:
  1. Escolher um palpite inicial. Vamos tomar o ponto médio do intervalo escolhido anteriormente, ou seja, .
  2. Calcular a derivada da função :
  1. Atualizar o palpite usando a fórmula de Newton:
  1. Repetir os passos até que a diferença entre as iterações seja menor que a precisão desejada ( ) e arredondar o resultado para 4 casas decimais.

Resposta

Após aplicar ambos os métodos numéricos com a precisão de , encontramos que a taxa de variação do ângulo é aproximadamente .

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