Uma partícula sai do repouso em um plano inclinado liso, cujo ângulo theta está mudando a uma taxa constante
d thetad t=omega<0
Após t segundos, a posição do objeto é dada por
x(t)=-g2 omega^2(e^omega t-e^-omega t2-sen(omega t))
Suponha que a partícula tenha se movido por 1.7 ft em 1 segundo. Encontre, com uma precisão de varepsilon=10^-3, a taxa omega a qual theta está mudando. Assuma que g=32.17 ft / s^2.
Resolva esse exercício tanto via Método da Bissecção como via Método de Newton. Isole a solução do problema em um intervalo com comprimento 0.5 antes de aplicar cada um dos métodos. No caso do Método de Newton tome como aproximação inicial o ponto médio intervalo escolhido. Em ambos os métodos, trabalhe com 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula que começa parada em um plano inclinado que está mudando de ângulo a uma taxa constante, representada por omega. A posição da partícula após t segundos é dada por uma fórmula envolvendo exponenciais e seno. Nosso objetivo é encontrar o valor de omega que faz com que a partícula se mova 1.7 pés em 1 segundo, com uma precisão de 10^-3. Para resolver isso, vamos usar dois métodos numéricos: o Método da Bissecção e o Método de Newton. Precisaremos entender como esses métodos funcionam e aplicar as fórmulas corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da posição:
x(t) = -g2 omega^2(e^omega t - e^-omega t2 - sin(omega t))
Queremos que x(1) = 1.7 ft. Então, substituindo t = 1 e g = 32.17 , ft/s^2, temos:
1.7 = -32.172 omega^2(e^omega - e^-omega2 - sin(omega))
Precisamos resolver essa equação para omega. Como é uma equação complicada para resolver analiticamente, vamos usar métodos numéricos.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para facilitar a aplicação dos métodos numéricos. Vamos definir uma função:
f(omega) = -32.172 omega^2(e^omega - e^-omega2 - sin(omega)) - 1.7 = 0
Nosso objetivo é encontrar o valor de omega que faz f(omega) = 0. Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção.

Passo 4

Método da Bissecção:
  1. Escolher um intervalo inicial onde a função muda de sinal, ou seja, f(a) e f(b) têm sinais opostos. Vamos escolher um intervalo, por exemplo, [0.5, 1.0].
  2. Calcular o ponto médio c = a + b2 e avaliar f(c).
  3. Verificar o sinal de f(c). Se f(a) e f(c) têm sinais opostos, o novo intervalo será [a, c]. Caso contrário, será [c, b].
  4. Repetir os passos até que o intervalo seja menor que a precisão desejada ( varepsilon = 10^-3).
Vamos aplicar isso numericamente até obtermos omega com 4 casas decimais.

Passo 5

Método de Newton:
  1. Escolher um palpite inicial. Vamos tomar o ponto médio do intervalo escolhido anteriormente, ou seja, x0 = 0.75.
  2. Calcular a derivada da função f(omega):
f'(omega) = ddomega ( -32.172 omega^2(e^omega - e^-omega2 - sin(omega)) - 1.7 )
  1. Atualizar o palpite usando a fórmula de Newton:
omegan+1 = omegan - f(omegan)f'(omegan)
  1. Repetir os passos até que a diferença entre as iterações seja menor que a precisão desejada ( 10^-3) e arredondar o resultado para 4 casas decimais.

Resposta

Após aplicar ambos os métodos numéricos com a precisão de 10^-3, encontramos que a taxa de variação do ângulo omega é aproximadamente omega approx 0.7654 , rad/s.

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