Uma partícula sai do repouso em um plano inclinado liso, cujo ângulo está mudando a uma taxa constante
Após segundos, a posição do objeto é dada por
Suponha que a partícula tenha se movido por 1.7 ft em 1 segundo. Encontre, com uma precisão de , a taxa a qual está mudando. Assuma que .
Resolva esse exercício tanto via Método da Bissecção como via Método de Newton. Isole a solução do problema em um intervalo com comprimento 0.5 antes de aplicar cada um dos métodos. No caso do Método de Newton tome como aproximação inicial o ponto médio intervalo escolhido. Em ambos os métodos, trabalhe com 4 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula que começa parada em um plano inclinado que está mudando de ângulo a uma taxa constante, representada por . A posição da partícula após segundos é dada por uma fórmula envolvendo exponenciais e seno. Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que a partícula se mova 1.7 pés em 1 segundo, com uma precisão de . Para resolver isso, vamos usar dois métodos numéricos: o Método da Bissecção e o Método de Newton. Precisaremos entender como esses métodos funcionam e aplicar as fórmulas corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da posição:
Queremos que ft. Então, substituindo e , temos:
Precisamos resolver essa equação para . Como é uma equação complicada para resolver analiticamente, vamos usar métodos numéricos.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para facilitar a aplicação dos métodos numéricos. Vamos definir uma função:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz . Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção.
Passo 4
Método da Bissecção:
Escolher um intervalo inicial onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Vamos escolher um intervalo, por exemplo, .
Calcular o ponto médio e avaliar .
Verificar o sinal de . Se e têm sinais opostos, o novo intervalo será . Caso contrário, será .
Repetir os passos até que o intervalo seja menor que a precisão desejada ().
Vamos aplicar isso numericamente até obtermos com 4 casas decimais.
Passo 5
Método de Newton:
Escolher um palpite inicial. Vamos tomar o ponto médio do intervalo escolhido anteriormente, ou seja, .
Calcular a derivada da função :
Atualizar o palpite usando a fórmula de Newton:
Repetir os passos até que a diferença entre as iterações seja menor que a precisão desejada () e arredondar o resultado para 4 casas decimais.
Resposta
Após aplicar ambos os métodos numéricos com a precisão de , encontramos que a taxa de variação do ângulo é aproximadamente .