Sejam as matrizes . Calcule:
b) A x
c) A B
d) x^T y
e) x y^T
Passo 1
Vamos resolver os itens b), c), d) e e) do exercício. O conteúdo envolve operações com matrizes e vetores, como multiplicação de matrizes, multiplicação de matriz por vetor, produto interno e produto externo. Para isso, vamos precisar entender como realizar essas operações passo a passo.
Passo 2
Item b) A = 1 & 0 & 9 4 & 2 & -1 -3 & 6 & 5, x = 2 2 3
Primeiro, vamos multiplicar a matriz A x = 1 times 2 + 0 times 2 + 9 times 3 4 times 2 + 2 times 2 + (-1) times 3 -3 times 2 + 6 times 2 + 5 times 3 = 2 + 0 + 27 8 + 4 - 3 -6 + 12 + 15 = 29 9 21 pelo vetor B = 2 & -3 & 0 1 & 4 & 6 5 & -2 & 8 . A multiplicação de uma matriz por um vetor envolve multiplicar cada linha da matriz pelos elementos do vetor e somar os resultados.
A B = 1 times 2 + 0 times 1 + 9 times 5 & 1 times (-3) + 0 times 4 + 9 times (-2) & 1 times 0 + 0 times 6 + 9 times 8 4 times 2 + 2 times 1 + (-1) times 5 & 4 times (-3) + 2 times 4 + (-1) times (-2) & 4 times 0 + 2 times 6 + (-1) times 8 -3 times 2 + 6 times 1 + 5 times 5 & -3 times (-3) + 6 times 4 + 5 times (-2) & -3 times 0 + 6 times 6 + 5 times 8
Agora, vamos multiplicar a matriz x^T y = 2 times 10 + 2 times 20 + 3 times 30 = 20 + 40 + 90 = 150 pela matriz x y^T = 2 2 3 10 & 20 & 30 = 2 times 10 & 2 times 20 & 2 times 30 2 times 10 & 2 times 20 & 2 times 30 3 times 10 & 3 times 20 & 3 times 30 = 20 & 40 & 60 20 & 40 & 60 30 & 60 & 90 . A multiplicação de duas matrizes requer que o número de colunas de seja igual ao número de linhas de . O resultado será uma nova matriz onde cada elemento é a soma dos produtos correspondentes das linhas de e das colunas de .
Realizando a multiplicação:
Calculando cada elemento:
Item d)
Aqui, queremos calcular o produto interno (produto escalar) dos vetores e . O produto interno é a soma dos produtos dos componentes correspondentes dos vetores.
Calculando:
Item e)
Por fim, vamos calcular o produto externo dos vetores e . O produto externo resulta em uma matriz onde cada elemento é o produto do -ésimo elemento de pelo -ésimo elemento de .