Um engenheiro civil está projetando uma estrutura de suporte para um telhado em uma construção. A estrutura é composta por três vigas e um suporte central. Cada viga é submetida a diferentes forças devido ao peso do telhado e a cargas externas, como vento, que exerce uma carga horizontal de 4 kN sobre a estrutura. O telhado exerce uma carga total de 12 kN . Sabe-se que a estrutura está em equilíbrio. Determine as forças em cada viga e no suporte central, de modo que o projeto esteja nos pradões de segurança da estrutura. Modelagem do problema: Analisando as forças de compressão e tração nas vigas temos que F1+F2+F3+F4=12. O suporte central ajuda a resistir ao vento, portanto, F1-F2+1 / 2 F4=4. O momento em relação ao superte central nos fornece que 1 / 2 F1-1 / 2 F2-3 / 4 F3=0, Considerando a resistência do suporte central determine o sistema de equações que resolva o problema e assim determine as forças em cada viga e no suporte central.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um engenheiro civil que está projetando uma estrutura de suporte para um telhado. Essa estrutura tem três vigas e um suporte central. A gente precisa descobrir quais são as forças em cada viga e no suporte central para garantir que tudo fique seguro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças e montar um sistema de equações baseado nas informações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as informações que temos:
  1. Carga total do telhado: 12 kN.
  2. Carga horizontal do vento: 4 kN.
  3. Forças nas vigas e no suporte central: .
Sabemos que a estrutura está em equilíbrio, ou seja, a soma das forças e dos momentos deve ser zero.

Passo 3

Vamos começar montando as equações com base no equilíbrio das forças verticais e horizontais.
Equilíbrio Vertical:
A soma das forças verticais deve ser igual à carga total do telhado.
F1 + F2 + F3 + F4 = 12
Equilíbrio Horizontal:
A carga do vento é resistida pelo suporte central e pelas vigas. A equação dada é:
F1 - F2 + 12 F4 = 4

Passo 4

Agora, consideramos o equilíbrio dos momentos em relação ao suporte central. Isso nos dá outra equação:
12 F1 - 12 F2 - 34 F3 = 0
Então, até aqui, temos três equações:

Passo 5

Vamos simplificar a terceira equação para facilitar os cálculos. Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
2F1 - 2F2 - 3F3 = 0
Agora, temos:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiramente, da segunda equação, podemos expressar F1 = 4 + F2 - 12 F4 em termos de e :

Passo 7

Agora, substituímos (4 + F2 - 12 F4) + F2 + F3 + F4 = 12 na primeira e na terceira equação com essa expressão.
Primeira Equação:
4 + 2F2 + F3 + 12 F4 = 12
Simplificando:
2F2 + F3 + 12 F4 = 8
2(4 + F2 - 12 F4) - 2F2 - 3F3 = 0
Terceira Equação:
8 + 2F2 - F4 - 2F2 - 3F3 = 0
Simplificando:
8 - F4 - 3F3 = 0
F4 + 3F3 = 8

Passo 8

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
  1. F4 = 8 - 3F3
Vamos resolver a segunda equação para :

Passo 9

Substituímos 2F2 + F3 + 12 (8 - 3F3) = 8 na primeira equação:
2F2 + F3 + 4 - 32 F3 = 8
Simplificando:
2F2 - 12 F3 = 4
4F2 - F3 = 8
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:

Passo 10

Agora, temos:
  1. F3 = 4F2 - 8
Vamos expressar da primeira equação:

Passo 11

Substituímos F4 = 8 - 3(4F2 - 8) na equação para F4 = 8 - 12F2 + 24 :
F4 = 32 - 12F2

Passo 12

Agora, lembrando da primeira equação original:
F1 + F2 + F3 + F4 = 12
Substituindo F1 + F2 + (4F2 - 8) + (32 - 12F2) = 12 e F1 + F2 + 4F2 - 8 + 32 - 12F2 = 12 :
F1 - 7F2 + 24 = 12
Simplificando:
F1 - 7F2 = -12

Passo 13

Agora, lembramos da expressão que encontramos para F1 = 4 + F2 - 12 F4 :
F1 = 4 + F2 - 12 (32 - 12F2)
Substituindo F1 = 4 + F2 - 16 + 6F2 :
F1 = -12 + 7F2

Passo 14

Substituímos (-12 + 7F2) - 7F2 = -12 na equação -12 = -12 :
Isso significa que a equação é verdadeira para qualquer valor de , indicando que faltou uma equação para resolver todas as incógnitas. Parece que houve uma redundância nas equações, então vamos usar as relações que já temos para encontrar os valores.

Passo 15

Vamos escolher um valor para F3 = 4(2) - 8 = 0 , kN que satisfaça todas as equações. Observando que as forças devem ser positivas e físicas, vamos supor que F4 = 32 - 12(2) = 32 - 24 = 8 , kN kN.
Então:
F1 = -12 + 7(2) = -12 + 14 = 2 , kN

Resposta

As forças na estrutura são:
  • kN
  • kN
  • kN
  • kN

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