Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere com xi^0=0 forall i.
c) l8 x1-3 x2+2 x3=20 4 x1+11 x2-x3=33 6 x1+3 x2+12 x3=36 Com varepsilon=0,2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é parte da Álgebra Linear e serve para encontrar soluções aproximadas para sistemas lineares. Para começar, a gente precisa organizar as equações de forma que cada variável seja isolada, ou seja, expressa em função das outras. Vamos precisar também definir uma tolerância de erro, que no caso é varepsilon = 0,2, e partir de uma estimativa inicial, que aqui está definida como xi^0=0 para todo i.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações isolando cada variável:
  1. Da primeira equação:
x1 = 20 + 3x2 - 2x38
  1. Da segunda equação:
x2 = 33 - 4x1 + x311
  1. Da terceira equação:
x3 = 36 - 6x1 - 3x212

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações do método de Gauss-Seidel. Começamos com x1^(0) = 0, x2^(0) = 0 e x3^(0) = 0.
Iteração 1:
x1^(1) = 20 + 3(0) - 2(0)8 = 208 = 2,5
x2^(1) = 33 - 4(2,5) + 011 = 33 - 1011 = 2311 approx 2,09
x3^(1) = 36 - 6(2,5) - 3(2,09)12 = 36 - 15 - 6,2712 = 14,7312 approx 1,23

Passo 4

Vamos para a segunda iteração usando os valores atualizados:
Iteração 2:
x1^(2) = 20 + 3(2,09) - 2(1,23)8 = 20 + 6,27 - 2,468 = 23,818 approx 2,98
x2^(2) = 33 - 4(2,98) + 1,2311 = 33 - 11,92 + 1,2311 = 22,3111 approx 2,03
x3^(2) = 36 - 6(2,98) - 3(2,03)12 = 36 - 17,88 - 6,0912 = 12,0312 approx 1,00

Passo 5

Vamos verificar se a diferença entre as iterações está abaixo da tolerância varepsilon = 0,2.
Para x1: |2,98 - 2,5| = 0,48 > 0,2
Para x2: |2,03 - 2,09| = 0,06 < 0,2
Para x3: |1,00 - 1,23| = 0,23 > 0,2
Como ainda há diferenças maiores que 0,2, precisamos fazer mais uma iteração.
Iteração 3:
x1^(3) = 20 + 3(2,03) - 2(1,00)8 = 20 + 6,09 - 28 = 24,098 approx 3,01
x2^(3) = 33 - 4(3,01) + 1,0011 = 33 - 12,04 + 111 = 21,9611 approx 1,99
x3^(3) = 36 - 6(3,01) - 3(1,99)12 = 36 - 18,06 - 5,9712 = 12,9712 approx 1,08

Passo 6

Vamos novamente verificar as diferenças:
Para x1: |3,01 - 2,98| = 0,03 < 0,2
Para x2: |1,99 - 2,03| = 0,04 < 0,2
Para x3: |1,08 - 1,00| = 0,08 < 0,2
Todas as diferenças estão abaixo de 0,2, então podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema utilizando o método de Gauss-Seidel com varepsilon = 0,2 é:
x1 approx 3,01, x2 approx 1,99, x3 approx 1,08

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